Questo è un esercizio sulle trasformazioni adiabatiche:

3,0 kg di O2 vengono compressi adiabaticamente e reversibilmente dalla pressione di 0,40 bar a temperatura di 25°C fino alla pressione di 1,50 bar.
A) i valori della temperatura e del volume specifico prima e dopo la trasformazione.
B) Calcolare la quantità di energia scambiata.
C) Riportare qualitativamente sui piani termodinamici (T, s) e (p, v) la trasformazione.

Ecco la mia risposta:

Una massa di O₂ pari 3,0 kg è pari a una quantità di sostanza \(\displaystyle n=\mathrm{\frac{3000\,g}{32\frac{g}{mol}}=94\,mol}\).
Lo stato di partenza del gas è \(\displaystyle p_1=\mathrm{40\,kPa}\), \(\displaystyle T_1 = \mathrm{298\,K}\) e \(\displaystyle V_1=\frac{nRT_1}{p_1}=\mathrm{5,81\,m^3}\).

In un gas perfetto biatomico sottoposto a un’adiabatica reversibile resta costante la quantità \(k=pV^{\gamma}\), con \(\gamma=\frac{7}{5}\). Nel nostro caso si ottiene \(\displaystyle k=4,7\cdot10^5\mathrm{Pa\,m^{4,2}}\).

Da questo valore si calcola il volume finale:
\[\displaystyle V_2=\sqrt[\frac{7}{5}]{\frac{k}{p_2}}=\mathrm{2,26\,m^3}\]
e la temperatura finale \(\displaystyle T_2=\mathrm{435\,K}\).

L’energia scambiata si riduce al lavoro eseguito sul gas, dato che il calore scambiato è nullo. Integrando:
\[\displaystyle W=\int p dV = \int \frac{k}{V^{\gamma}}dV = \frac{k}{1-\gamma}\left[V^{1-\gamma}\right]^{V_2}_{V_1}=\mathrm{-2,7\cdot10^5\,J}\]
dove il segno meno è coerente con la convenzione per cui il primo principio della termodinamica si scrive come \(\Delta U = Q – W = -W = -(\mathrm{-2,7\cdot10^5\,J}) = \mathrm{2,7\cdot10^5\,J})\).

Nel piano \((T, S)\) la trasformazione è un segmento parallelo all’asse \(T\), a entropia costante perché \(Q=0\).
Nel piano \((p, V)\) la trasformazione è la “pseudoiperbole” di equazione \(pV^{\gamma}=k\).

Questo è un esercizio sui concetti di energia e calore:

Su un pacco di biscotti c’è scritto che 100 g di prodotto equivalgono a un quantitativo energetico alimentare di 1800 kJ. Si vuole aumentare di 1,0 °C la temperatura di una certa quantità di acqua. Quanti litri d’acqua si potrebbero scaldare utilizzando la quantità di energia equivalente a 350 g di biscotti?

Ecco la mia risposta:

Una quantità di biscotti pari a 350 g forniscono un’energia alimentare pari a 3,5 volte quella di 100 g degli stessi biscotti. La quantità di energia in questione è quindi \(\Delta E = \mathrm{3,5 \cdot 1800\,kJ = 6300\,kJ}\).
A temperatura e pressione ordinarie, il calore specifico dell’acqua è \(\displaystyle c_{aq}=\mathrm{4186\frac{J}{mol\cdot °C}}\). La relazione fra energia fornita \(\Delta E\), variazione di temperatura \(\Delta T\) e massa \(m\) è:
\[\displaystyle \Delta E = c_{aq}\cdot m\cdot\Delta T\].
Ricavando la massa:
\[\displaystyle m = \frac{\Delta E}{c_{aq}\cdot\Delta T}=\mathrm{\frac{6300\cdot10^3\,J}{4186\frac{J}{mol\cdot °C}\cdot 1,0\,°C}=1,5\cdot10^3\,kg}\].
Una massa di \(\mathrm{1,5\cdot10^3\,kg}\) di acqua distillata a pressione e temperature ordinarie corrisponde a un volume di \(\mathrm{1,5\cdot10^3\,L}\).

Questo è un quesito ben collaudato sul piano inclinato:

Un punto materiale pesante poggia in quiete su un piano inclinato avente alla base un angolo alfa; aumentando progressivamente tale angolo si osserva che per alfa = 35°, il punto comincia a scivolare sul piano. Si calcoli il coefficiente di attrito statico tra punto e piano.

Ecco la mia risposta:

Facciamo riferimento al seguente diagramma della scomposizione delle forze agenti su un oggetto appoggiato a un piano inclinato.

La forza peso \(\vec P=m\vec g\) può essere scomposta in una componente perpendicolare al piano \(mg\cos\alpha\) e una componente parallela al piano \(mg\sin\alpha\), mentre la forza di attrito statico \(\vec F_A\) è parallela al piano, ma pari al coefficiente di attrito statico per la componente della forza peso perpendicolare al piano: \(F_A=\mu mg\cos\alpha\).

L’oggetto inizia a scivolare non appena il valore della componente della forza peso parallela al piano supera la forza di attrito. Questo avviene appena superata la condizione:
\(mg\sin\alpha=\mu mg\cos\alpha\)
da cui si ottiene:
\(\displaystyle\mu=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\).
Nel nostro caso l’angolo di rottura è \(\alpha=35°\), quindi \(\mu=0,70\).

Questo è un quesito sulla pressione:

Su internet ho trovato un video sul principio di Pascal, ma non riesco a spiegarmi il fenomeno.

Ecco la mia risposta:

[Link al video.]

Il fenomeno appare sorprendente perché sembra che il palloncino più sgonfio gonfi l’altro, e quindi che l’aria si muova andando ad aumentare la pressione su un palloncino e a diminuirla nell’altro, invece di procedere verso l’equilibrio.
Istintivamente, facciamo l’ipotesi che la pressione aumenti linearmente con il raggio del palloncino. Più il palloncino è grande, maggiore è la pressione al suo interno.

L’ipotesi di linearità è però falsa. La pressione inizialmente aumenta in modo molto rapido, ma per un valore del raggio pari a circa 1,4 volte il raggio del palloncino quando è sgonfio raggiunge un massimo, dopo di che cala lentamente. Nel video, il palloncino più piccolo si trova in realtà più vicino al valore massimo della pressione rispetto al palloncino più grande. Quindi l’aria, nonostante le apparenze, si sposta proprio per equilibrare la pressione.

Il grafico è tratto dalla pagina Wikipedia Two-balloon experiment, che contiene una spiegazione dettagliata dell’andamento della pressione in funzione del raggio.

Questo è un esercizio difficile da decifrare:

Un oggetto si muove di moto armonico semplice di ampiezza A e pulsazione w attorno al punto di equilibrio x=0. Usare la conservazione dell’energia per dimostrare che la velocità v nella generica posizione x è data dalla seguente espressione: v=w(√(A^2-x^2)).

Ecco la mia risposta:

Il problema presentato da questo esercizio è piuttosto comune. Chi chiede un suggerimento parla di moto armonico, ma abbastanza naturalmente non pensa a spiegare quello che sa a proposito del moto armonico. Il fatto è che questo argomento, come molti altri, può essere presentato in molti modi e a diversi livelli di approfondimento. La risposta dovrebbe essere adattata al livello di competenza di chi pone la domanda.

Inevitabilmente, devo basarmi su una ipotesi. Supporrò che chi pone la domanda sappia che:

• il moto armonico è il moto di un oggetto di massa \(m\) vincolato ad una molla di costante elastica \(k\) e soggetto soltanto alla forza elastica della molla, \(\vec F = -k\vec x\), dove \(\vec x\) è lo spostamento dalla posizione di equilibrio;
• l’energia potenziale elastica di una molla sottoposta a una deformazione \(\vec x\) si può scrivere come \(\displaystyle U=\frac{1}{2}k\cdot x^2\);
• la pulsazione di un moto armonico può essere espressa come \(\displaystyle\omega=\sqrt\frac{k}{m}\).

Sapendo questo, allora nella espressione dell’energia meccanica \(E= K+U\) possiamo scrivere \(\displaystyle E=K+\frac{1}{2}k\cdot x^2\). Quando l’oggetto vincolato alla molla si trova a un’estremità dell’oscillazione e lo spostamento coincide con l’ampiezza, \(x=A\), l’oggetto è istantaneamente immobile e l’energia è interamente potenziale e si può scrivere come \(\displaystyle E=\frac{1}{2}k\cdot A^2\).
Ricavando l’energia cinetica abbiamo:
\(\displaystyle K = E – U = \frac{1}{2}k\cdot A^2 – \frac{1}{2}k\cdot x^2 = \frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right)\).
La velocità si può ricavare dall’energia cinetica:
\(\displaystyle v = \sqrt\frac{2K}{m} = \sqrt{\frac{1}{m}\cdot 2\frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right)}= \omega\sqrt{\left(A^2-x^2\right)}\).

Questo è un quesito sui passaggi di stato:

La quantità di pioggia caduta su una certa regione si misura in mm dove 1 mm di pioggia equivale ad una quantità di 1 litro d’acqua caduta su una superficie di 1 metro quadro. L’Italia ha una superficie di 301336 km quadrati e una media delle precipitazioni pari a 970 mm all’anno. Quanta energia viene rilasciata in atmosfera sotto forma di calore latente, dalla condensazione dell’acqua che precipita in Italia in un anno?

Ecco la mia risposta:

Uno strato d’acqua di spessore pari a 0,970 m e area di base pari a 3,01336·10¹¹ m² (1 km² = 10⁶ m²) ha un volume pari a 2,92·10¹¹ m³. La sua massa è pari a 2,92·10¹⁴ kg, dato che la densità dell’acqua è 1,0·10³ kg/m³.
Il calore latente (sarebbe meglio chiamare questa quantità entalpia specifica) di condensazione dell’acqua è pari a 2,26·10⁶ J/kg. Di conseguenza l’energia richiesta è 6,60·10²⁰ J.

Questo è un problema sull’equilibrio elettrostatico:

Due sfere conduttrici A e B, distanti tra loro, sono collegate da un sottile filo conduttore. Su ciascuna sfera è presente una densità superficiale di carica, la prima (A) è 4,2×10^(-10) C/m^2 e la seconda (B) è 1,8×10^(-10) C/m^2. Il raggio della prima sfera è rA=1,2cm.
Determina il raggio della seconda sfera.
Determina il potenziale delle due sfere.

Ecco la mia risposta:

Essendo collegate insieme, le due sfere sono in equilibrio elettrostatico e si trovano allo stesso potenziale \(V_A=V_B=V\). Essendo distanti, ciascuna di esse si trova al potenziale di una sfera conduttrice carica isolata: \(\displaystyle V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\).
Il potenziale \(V\) può essere espresso in funzione della densità superficiale di carica, \(\displaystyle\sigma=\frac{Q}{4\pi r^2}\). Confrontando le due espressioni si ottiene \(\displaystyle V=\frac{\sigma\cdot4\pi r^2}{4\pi\epsilon_0 r}=\frac{\sigma\cdot r}{\epsilon_0}\).
Dall’uguaglianza dei potenziali delle due sfere si ottiene \(\displaystyle \frac{\sigma_A\cdot r_A}{\epsilon_0}=\frac{\sigma_B\cdot r_B}{\epsilon_0}\) da cui si ricava: \(\displaystyle r_B=\frac{\sigma_A}{\sigma_B}r_A=\mathrm{2,8\,cm}\).

Conoscendo i valori dei raggi e delle densità di carica si può calcolare immediatamente \(V\) con una delle espressioni già indicate.

Questo è un esercizio di cinematica elementare:

Un treno parte da fermo e accelera con a = 3 m/s2 costante per 20 s. Poi viaggia a velocità costante per 1,5 ore. Infine frena fino a fermarsi con una decelerazione di 4 m/s2. Trovare tutto lo spazio percorso, il tempo totale e la velocità media.

Ecco la mia risposta:

Nella prima fase il treno si muove di moto uniformemente accelerato. Le equazioni rilevanti sono:
\(\displaystyle s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_0 t^2\)
\(\displaystyle v = v_0 + a_0 t\)
dove possiamo porre \(s_0=0\) scegliendo come posizione di riferimento la posizione del treno all’istante \(t=0\); poniamo \(v_0=0\) perché il treno parte da fermo; e possiamo porre \(\displaystyle a_0 = \mathrm{3\,\frac{m}{s^2}}\) positiva scegliendo il verso del moto del treno come verso positivo del nostro sistema rettilineo di riferimento.
Le equazioni diventano:
\(\displaystyle s = \frac{1}{2}\mathrm{3\,\frac{m}{s^2}}\,t^2\) e \(\displaystyle v = \mathrm{3\,\frac{m}{s^2}}\,t\)
e dopo 20 secondi posizione e velocità assumono i valori:
\(s_1=\mathrm{600\,m}\) e \(\displaystyle v_1=\mathrm{60\,\frac{m}{s}}\).

Nella seconda fase il treno si muove di moto uniforme dalla posizione \(s_1\) con la velocità \(v_1\). Le equazioni del moto sono ora:
\(\displaystyle s = s_1 + v_1 t = \mathrm{600\,m} + \mathrm{60\,\frac{m}{s}\,t}\)
\(\displaystyle v = v_1 = \mathrm{60\,\frac{m}{s}}\).
Dopo un’ora e mezza (5400 secondi) posizione e velocità assumono i valori:
\(s_2=\mathrm{324600\,m}\) e \(\displaystyle v_2 =v_1=\mathrm{60\,\frac{m}{s}}\).

Nella terza fase il treno si muove di nuovo di moto uniformemente accelerato, ma con accelerazione negativa (il termine decelerazione andrebbe evitato). Le equazioni del moto diventano:
\(\displaystyle s = s_2 + v_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = \mathrm{324600\,m}+\mathrm{60\,\frac{m}{s}}\,t+\frac{1}{2}\left(-\mathrm{4\,\frac{m}{s^2}}\right)t^2\)
\(\displaystyle v = v_2 + a_2 t = \mathrm{60\,\frac{m}{s}}+\left(-\mathrm{4\,\frac{m}{s^2}}\right)t\).
Il treno rallenta fino a fermarsi. Ponendo \(v=0\) nell’ultima equazione si ottiene l’istante \(t_f\) al quale il treno si arresta:
\(\displaystyle 0 = \mathrm{60\,\frac{m}{s}}-\mathrm{4\,\frac{m}{s^2}}\,t_t\)
da cui
\(\displaystyle t_f = \mathrm{\frac{-60\,\frac{m}{s}}{-4\,\frac{m}{s^2}}=15\,s}\).

La durata complessiva del moto è \(T=\mathrm{20\,s + 5400\,s + 15\,s=5435\,s}\).
La distanza percorsa complessivamente coincide con la posizione finale del treno:
\(\displaystyle S = \mathrm{324600\,m}+\mathrm{60\,\frac{m}{s}\cdot15\,s-2\,\frac{m}{s^2}\cdot\left(15,s\right)^2=325050\,m}\).
Dividendo \(S\) per \(T\) si ottiene la velocità media:
\(\displaystyle v_m=\frac{S}{T}=\mathrm{59,8\frac{m}{s}}\).

Questo è un esercizio sul momento di una forza:

Il cric è una macchina semplice molto vantaggiosa, che viene utilizzata per sollevare le automobili con poco sforzo. Si agisce su una manovella, il cui movimento viene trasferito a un’asta che esegue il sollevamento. Uno di questi attrezzi richiede di effettuare 20 giri di manovella (raggio=18,5 cm) per produrre un sollevamento di 15 cm.
Se la massa di un’automobile è 1150 kg quale forza si deve applicare alla manovella del cric per riuscire a sollevarla?

Ecco la mia risposta:

Chiamiamo \(F_m\) la forza applicata all’estremità della manovella del cric. Il punto di applicazione di \(F_m\) si sposta lungo 20 circonferenze di raggio \(r=\mathrm{0,185\,m}\), quindi per una distanza complessiva pari a \(R_m=20\cdot2\pi\cdot r=\mathrm{23,2\,m}\).
All’equilibrio, il prodotto \(R_m\cdot F_m\) dev’essere uguale al prodotto della forza peso \(F_p=mg=\mathrm{1150\,kg\cdot9,8\,N/kg=11,3\cdot10^3\,N}\) dell’automobile, applicata all’asta del cric, per lo spostamento \(R_p=\mathrm{0,15\,m}\) dell’asta:
\(R_m\cdot F_m = R_p\cdot F_p\).
Da questa uguaglianza si ricava \(F_m=\mathrm{72\,N}\), pari alla forza necessaria a sollevare un oggetto la cui massa sia di soli 7,4 kg.

Questo è un esercizio sulla caduta libera:

Come posso determinare la velocità di un corpo che cade da una certa altezza nel momento in cui arriva a terra sapendo la sua massa e l’altezza da cui cade?

Ecco la mia risposta:

Anche se il richiedente sembra pensare di non avere abbastanza dati, in realtà ne ha troppi, perché la massa non serve: se si possono trascurare la resistenza dell’aria e la variazione locale dell’accelerazione di gravità \(g\), qualsiasi oggetto lasciato cadere cadrà allo stesso modo da una determinata altezza, indipendentemente dalla sua massa.

La legge del moto per un oggetto lasciato cadere è:
\(\displaystyle \Delta s = \frac{1}{2}g\Delta t^2\)
dove \(\Delta s\) è la distanza percorsa (in questo caso l’altezza di caduta) e \(\Delta t\) il tempo impiegato.
Conoscendo \(\Delta s\) ricaviamo \(\Delta t\):
\(\displaystyle \Delta t = \sqrt{\frac{2\Delta s}{g}}\).
La velocità in un moto uniformemente accelerato è data dalla legge:
\(\displaystyle v = g\Delta t\)
e questa espressione ci permette di calcolare la velocità richiesta.

Questo è un esercizio sulle forze:

Un cubetto di ghiaccio di massa pari a 50 g è sulla parete laterale di un imbuto che può essere fatto ruotare attorno al suo asse. Tra il cubetto e l’imbuto il coefficiente di attrito statico è 0,050, la parete laterale è inclinata di 45° ed il cubetto si trova a 10 cm dall’asse dell’imbuto. Determina la minima velocità di rotazione (angolare) dell’imbuto necessaria ad impedire al cubetto di ghiaccio di scendere giù per l’imbuto.

Ecco la mia risposta:

Sul cubetto agiscono tre forze: la forza peso \(F_p=mg\), la reazione vincolare della parete dell’imbuto \(F_R\) e la forza di attrito \(F_a=\mu\cdot mg\cdot\cos(45°)\). La somma vettoriale delle prime due, come è noto dall’analisi dell’equilibrio sul piano inclinato, è uguale alla componente della forza peso parallela alla parete stessa, \(F_{par}=mg\cdot\sin(45°)\). La differenza fra quest’ultima forza e la forza di attrito, \(F_{eff}=mg\cdot\sin(45°)-\mu\cdot mg\cdot\cos(45°)=(1-\mu)mg\cdot\sin(45°)\) rappresenta la forza efficace che farebbe scivolare il cubetto lungo la parete.
Se l’imbuto ruota, sul cubetto deve agire una forza centripeta \(F_c=m\omega^2r\), diretta lungo il raggio di rotazione. Anche questa forza può essere scomposta in una componente perpendicolare alla parete (questa componente è fornita da un’ulteriore reazione vincolare della parete) e una componente parallela ad essa, \(F_{c,\,par}=m\omega^2r\cdot\cos(45°)\). Questa seconda componente deve essere almeno uguale a \(F_{eff}\), affinché il cubetto non scivoli:
\(m\omega^2r\cdot\cos(45°)=(1-\mu)mg\cdot\sin(45°)\)
da cui:
\(\omega^2r=(1-\mu)g\)
e infine \(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{(1-\mu)g}{r}}=\mathrm{9,6\frac{rad}{s}}\).

Questo è un quesito sul moto circolare:

Un ciclista deve percorrere una curva che ha la forma di un arco di circonferenza di raggio r = 75 m. La massa totale del ciclista e della bicicletta è m = 81 kg. L’attrito fra le due ruote e la strada è in grado di esercitare una forza centripeta non superiore a Fmax = 78 N. Determina la massima velocità v alla quale il ciclista può percorrere la curva.

Ecco la mia risposta:

La forza centripeta su un punto materiale di massa \(m\) che si muova con velocità \(v\) su una traiettoria circolare di raggio \(r\) si può scrivere come:
\(\displaystyle F=m\frac{v^2}{r}\).
Moltiplicando entrambi i membri per \(r\) e dividendoli per \(m\), quindi estraendo la radice quadrata, si ottiene:
\(\displaystyle v = \sqrt{\frac{r\cdot F}{m}}=\mathrm{\sqrt{\frac{75\,m\cdot78\,N}{81\,kg}}=8,5\frac{m}{s}}\).

Questo è un esercizio sul vettore campo elettrico:

Un triangolo rettangolo ha l’angolo in B di 30° e l’ipotenusa BC che misura 80,0 cm. Nei vertici A e B sono fissate due cariche Qa=-2,40 microC e Qb=-9,60 microC. Disegna i campi elettrici prodotti dalle due cariche nel vertice C e calcola i moduli dei due campi. Disegna il campo elettrico totale in C e calcola il suo modulo.

Ecco la mia risposta:

Per prima cosa, tracciamo un disegno.

Dal disegno e dalle proprietà ben note del triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60° si deduce che AC è la metà di BC. Il calcolo diretto a partire dall’espressione del campo elettrico di una carica puntiforme, \(\displaystyle E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\) mostra che i campi \(\vec E_A\) e \(\vec E_B\) hanno lo stesso modulo, mentre formano un angolo di 60°. Costruendo la loro somma con il metodo punta-coda si ottiene un triangolo isoscele con angolo al vertice pari a 120°. Dato che la base di tale triangolo è \(\sqrt{3}\) volte il lato obliquo, il campo totale \(\vec E_T\) ha modulo pari a \(\sqrt{3}\) volte il modulo di \(\vec E_A\).

Questo è un quesito poco chiaro:

Un carrello delle montagne russe di massa 364 kg deve percorrere una curva ad arco di circonferenza alla velocità di modulo costante pari a 50km/h. La curva ha un raggio di 5,0 m. Determina la forza che il motore deve esercitare nei due casi. A: a bordo del carrello c’è solo un passeggero di massa 71 kg. B: oltre al passeggero c’è un pezzo aggiuntivo di massa 20 kg.

La mia risposta:

Il quesito è oscuro. Sembra chiaro che si vuole che lo studente calcoli la forza centripeta necessaria, in base alla formula \(\displaystyle F=m\frac{v^2}{r}\). Sostituendo nella formula una massa pari a 435 kg, un raggio pari a 5,0 m e una velocità pari a 14 m/s, si ottiene un valore pari a 1,7·10⁴ N. Ma bisognerebbe ancora sapere se il carrello è su un dosso o in una cunetta, perché bisognerebbe tenere conto della forza di gravità. E non vedo perché dovrebbe essere il motore a imporre la forza necessaria.

Questo è un esercizio sul primo principio della termodinamica:

Una certa quantità di vapor acqueo, posta all’interno di un cilindro avente un volume di 10 L, viene compressa alla pressione costante di 3 atm sino a quando il volume diventa un quinto di quello iniziale. Se durante questa trasformazione vengono cedute al gas 0,8 cal, di quanto sarà cambiata la sua energia interna?

Ecco la mia risposta:

L’esercizio presenta una difficoltà non trascurabile: se all’interno del cilindro c’è vapore d’acqua, cioè tecnicamente un gas vicino al punto di condensazione, allora a tale sistema non sarebbe applicabile l’equazione di stato del gas perfetto né alcuna delle sue conseguenze. Ma allora, come svolgere l’esercizio? Se si deve tenere conto di questo aspetto, l’esercizio diventa troppo arduo per la classe (ultimo anno di liceo classico) in cui è stato assegnato.
Nel seguito svolgerò l’esercizio ignorando questo aspetto, ma resto comunque perplesso.

Immaginando di avere a che fare con del gas perfetto che subisce una trasformazione isobara, il lavoro compiuto sul gas è pari a:
\(\displaystyle W=-p\cdot\Delta V=\mathrm{-3\,atm\cdot\frac{101300\,Pa}{1\,atm}\cdot\left(2\,L-10\,L \right)\cdot\frac{0,001\,m^3}{1\,L}=2,4\,kJ}\).
(Il lavoro compiuto dal gas è l’opposto di questa quantità.)
Il calore ceduto al gas è \(\displaystyle Q=\mathrm{0,8\,cal\cdot\frac{4,186\,J}{1\,cal}=3,3\,J}\).
Il primo principio della termodinamica permette di calcolare la variazione di energia interna:
\(\Delta U = Q + W = \mathrm{3,3\,J+2,4\,kJ=2,4\,kJ}\).
(Sospetto anche che il testo parlasse in realtà non di “cal” (calorie), ma di “Cal” o “kcal” (kilocalorie), perché non sembra ragionevole che il calore scambiato sia appena la millesima parte del lavoro eseguito.)

Questa è una perplessità sul secondo principio della dinamica:

Ho un dubbio riguardante il secondo principio della dinamica. Per anni ho dato per scontato la formula F=ma. Tuttavia mi chiedo: se sposto un carrello di massa m su un piano orizzontale (trascurando l’attrito e tutto ciò che potrebbe “ostacolare” l’esperimento) devo imprimere una certa forza e ottengo così che il carrello si sposta, ho quindi una variazione di velocità e ho una accelerazione in accordo con la formula. Il nocciolo della questione è: se spingo il carrello sempre con la stessa forza alla fine avrò che il carrello andrà alla stessa velocità, in quanto gli faccio compiere gli stessi spostamenti in uguale intervalli di tempo e quindi non avrà più accelerazione? Però io lo sto spingendo e quindi applico una forza.

Ecco la mia risposta:

Ebbene no. Se si esercita una forza sul carrello ideale dell’esempio, gli si imprime un’accelerazione. Se smettiamo di esercitare la forza, il carrello non si ferma ma continua di moto uniforme. Se invece vogliamo continuare a esercitare la forza, dobbiamo correre dietro al carrello che accelera costantemente e quindi va sempre più velocemente.

Questo è un quesito di elettrostatica:

Due cariche puntiformi q1=7*10^-2 e q2=4*10^-2 si trovano nel vuoto a una distanza di 2 m. A quale distanza dalla carica q2 si trovano i punti sulla retta che congiunge le due cariche in cui il campo elettrico generato dalle due cariche si annulla?

La mia risposta:

Chiamiamo \(x\) la distanza da \(q_2\) cercata, e quindi \(\mathrm{2\,m}-x\) quella da \(q_1\). Il campo elettrico complessivo nel punto in questione vale:
\(\displaystyle E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_2}{x^2}-\frac{q_1}{\left(\mathrm{2\,m}-x\right)^2}\right)\).
Ponendo \(E=0\) si ottiene l’equazione:
\(\displaystyle \frac{q_2}{x^2}-\frac{q_1}{\left(\mathrm{2\,m}-x\right)^2}=0\)
che si può scrivere come:
\(\displaystyle q_2\cdot\left(\mathrm{2\,m}-x\right)^2-q_1\cdot x^2=0\).
Risolvendo otteniamo:
\(\left(q_2-q_1\right)x^2 – \mathrm{4\,m}\,q_2x + \mathrm{4\,m^2}\,q_2^2=0\)
e quindi:
\(\displaystyle x = \frac{\mathrm{4\,m}\,q_2\pm\mathrm{4\,m}\sqrt{q_1q_2}}{2\left(q_2-q_1\right)}\).
Le due soluzioni sono 0,9 m e -6,2 m (quest’ultima è evidentemente all’esterno del segmento che congiunge le cariche e se è il caso può essere ignorata).

Questo è un quesito sulle leggi dei gas:

Sulla cima di una montagna la temperatura è T1 = 10°C e la pressione è p1 = 933,3 x 10^2 Pa. Ai piedi della montagna si registra una temperatura T2 = 30°C ed una pressione p2 = 1013,1 x 10^2 Pa. Calcolare il rapporto d1/d2 tra la densità dell’aria alla cima e alla base della montagna.

La mia risposta:

Il rapporto fra le densità \(\displaystyle \frac{d_1}{d_2}=\frac{\frac{m}{V_1}}{\frac{m}{V_2}}=\frac{V_2}{V_1}\), calcolato considerando una stessa massa \(m\) in cima e alla base della montagna, è uguale al reciproco del rapporto fra i volumi.
Il rapporto fra i volumi può essere calcolato trattando la massa \(m\) d’aria (che contiene un numero fissato di moli \(n\)) come un gas perfetto:
\(\displaystyle\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{nRT_2}{p_2}}{\frac{nRT_1}{p_1}}=\frac{T_2}{T_1}\frac{p_1}{p_2}=\mathrm{\frac{303\,K}{283\,K}\frac{93,33\,kPa}{101,31\,kPa}=0,986}\).

Questo è un dubbio sulla relazione fra massa e energia:

VORREI SAPERE SE IL DIFETTO DI MASSA CAUSATO DALLA TRASFORMAZIONE DI MATERIA IN ENERGIA ( MILIARDI DI TONNELLATE DI PETROLIO, CARBONE E GAS TRASFORMATO IN ENERGIA) NON POSSA CAUSARE UNO SQUILIBRIO GRAVITAZIONALE ALL’INTERNO DEL SISTEMA SOLARE.

Ecco la mia risposta:

Prima di tutto un chiarimento doveroso: scrivere in maiuscole su Internet equivale a urlare ed è in generale considerato inappropriato. Meglio tenerlo presente, se non si vuole essere scambiati per persone maleducate.

Veniamo al punto. In realtà l’ipotesi è sbagliata: la massa dei combustibili bruciati per produrre energia non viene convertita in energia. I combustibili, combinandosi con l’ossigeno atmosferico, producono altre sostanze (ad esempio anidride carbonica o acqua) la cui massa è praticamente uguale a quella del combustibile e dell’ossigeno presenti inizialmente. Si stima (fonte Wikipedia) che il consumo annuo mondiale di energia sia di circa 500 miliardi di miliardi di joule. Secondo la famosa relazione di Einstein, \(E=mc^2\), dividendo questa energia per il quadrato della velocità della luce nel vuoto, \(c\), si ottiene la massa ad essa equivalente, pari a circa 5,5 tonnellate. Come si vede, è una massa molto inferiore a quella dei combustibili bruciati.
Se la massa dei combustibili fosse interamente convertita in energia, il risultato sarebbe probabilmente più che sufficiente a ridurre in briciole l’intero pianeta…
In ogni caso, la massa dei combustibili bruciati equivale più o meno a un millesimo di miliardesimo della massa della Terra. Anche se sparisse davvero, l’effetto gravitazionale sarebbe trascurabile.

Questo è un esercizio sull’energia elettrostatica:

Una batteria di automobile ha una fem di 12 V, mentre la carica iniziale della batteria è 50 Ah. Qual è l’energia totale della batteria?

Ecco la mia risposta:

Dalla definizione di intensità di corrente si ottiene che la carica che la batteria può far circolare è
\(Q = i\cdot\Delta t=\mathrm{50\,A\cdot3600\,s=1,8\cdot10^5\,C}\).
Dalla definizione di potenziale elettrico si ottiene l’energia richiesta:
\(U=Q\cdot V=\mathrm{1,8\cdot10^5\,C\cdot12\,V=2,2\,MJ}\).