Questo è un esercizio sulla conservazione dell’energia:

In un contenitore termicamente isolato, in cui vi sono 3,3 L di acqua alla temperatura di 25 °C, vengono posti 500 g di ghiaccio alla temperatura di 0 °C. Quanto ghiaccio si è fuso all’equilibrio? Qual è la temperatura finale?

Ecco la mia risposta:

Se l’acqua si raffreddasse fino al punto di congelamento, perderebbe un’energia pari a:
\(\displaystyle=c\cdot m\cdot\Delta T=\mathrm{4185\,\frac{J}{kg\cdot K}\cdot3,3\,kg\cdot\left(0\,°C-25\,°C\right)=-345\,kJ}\)
mentre l’energia assorbita dalla fusione del ghiaccio è pari a:
\(\displaystyle\Delta E_{fus}=L_f\cdot m’=\mathrm{333,5\cdot10^3\,\frac{J}{kg}\cdot0,5\,kg=167\,kJ}\).
Questo mostra che il ghiaccio si fonderà completamente, formando una massa \(m’=\mathrm{0,5\,kg}\) di acqua alla temperatura \(T’=\mathrm{0\,°C}\). Questa massa di acqua si riscalderà, mentre l’acqua presente fin dall’inizio continuerà a raffreddarsi fino a raggiungere la temperatura di equilibrio \(T_E\).

Scriviamo la conservazione dell’energia per il sistema. La variazione di energia interna dell’acqua presente inizialmente è \(\Delta E_1=c m (T_E-\mathrm{25\,°C})\) ed è negativa, la variazione di energia legata alla fusione del ghiaccio l’abbiamo calcolata prima, mentre la variazione di energia dell’acqua di fusione è \(\Delta E_2=c m’ (T_E-\mathrm{0\,°C})\). La somma di queste variazioni deve essere nulla:
\(\displaystyle\mathrm{4185\,\frac{J}{kg\,K}\cdot3,3\,kg}\left(T_E-\mathrm{25\,°C}\right)+\mathrm{333,5\cdot10^3\,\frac{J}{kg}\cdot0,5\,kg}+\mathrm{4185\,\frac{J}{kg\,K}\cdot0,5\,kg}\left(T_E-\mathrm{0\,°C}\right)=0\).

Ricavare da questa equazione l’incognita \(T_E\) permette di risolvere il problema.

Questo è un esercizio sulla legge di Stevin:

Un particolare manometro è costituito da un tubo ad U nel quale i due rami hanno diametri diversi. Il diametro del ramo 1 è 25 mm, quello del ramo 2 è 10 mm. Il liquido nel manometro è olio, con una densità di 830 kg/m^3 è il fluido che è a contatto con l’olio è gas di densità trascurabile. Rispetto alla condizione di equilibrio, di quanti centimetri si alza il liquido nel ramo 2 se p1-p2=1000 Pa, dette p1 la pressione nel ramo 1 e p2 quella nel ramo 2?

Ecco la mia risposta:

La differenza fra i diametri delle sezioni non è importante. Nei vasi comunicanti, il livello raggiunto in ogni vaso è lo stesso, indipendentemente dalla sezione del vaso (purché questa non sia capillare). Nel paradosso di Pascal, la pressione sul fondo del tubo sottile è uguale alla pressione in tutti i punti della botte, tanto che l’aggiunta di un po’ di acqua può farla scoppiare.

La differenza di pressione di \(\mathrm{1000\,Pa}\) deve essere uguale alla pressione \(\Delta p\) in fondo allo spessore di fluido in più nel ramo più piccolo. Secondo la legge di Stevin, \(\Delta p=dgh\) l’altezza richiesta è \(\displaystyle h=\frac{\Delta p}{dg}\).

Questa è una domanda sulle forze:

Ho delle difficoltà nella soluzione della seconda parte del seguente quesito: considera il pendolo della figura, dove la pallina appesa al filo ha massa m = 2,4 kg; calcola la velocità nel punto A e la tensione del filo nella stessa posizione A. Per la velocità non ho avuto problemi, ho applicato il principio di conservazione dell’energia meccanica e ho trovato il valore v = 4,2 m/s. Per quanto riguarda la tensione il libro mi dice di considerare che essa è sempre perpendicolare allo spostamento e quindi il lavoro è nullo.

Ecco la mia risposta:

Confesso di non capire il suggerimento del testo. Forse bisognerebbe leggere il riferimento originale.
Comunque trovare la risposta è abbastanza semplice, se si tiene conto che la forza centripeta \(\vec F_c=m\vec a_c\) che in A fa muovere il pendolo di un moto istantaneamente circolare di raggio \(l\) è uguale alla somma vettoriale fra la tensione \(\vec T\) (diretta verso l’alto) e la forza peso \(\vec F_p\) (diretta verso il basso). Passando ai moduli, \(m a_c=T-mg\) e quindi:
\(\displaystyle T=m\frac{v^2}{l}+mg\).

Questo è un esercizio su forze, lavoro e potenza:

La Ferrari F12 Berlinetta vanta un record notevole: con partenza da ferma riesce a raggiungere la velocità di 100 Km/h in 3,1s. Calcola:
a) il lavoro della risultante delle forze applicate all’auto e la potenza media minima necessaria per ottenere tale accelerazione, sapendo che la massa dell’auto è 1525 Kg;
b) la potenza dissipata in fase di accelerazione, supponendo che il motore lavori alla massima potenza;
c) la forza di attrito complessiva nel caso in cui, su un percorso appositamente predisposto, mantenga la massima velocità di 340 Km/h.

Ecco la mia risposta:

Supponiamo che il moto durante l’intervallo di accelerazione di durata \(\Delta t=\mathrm{3,1\,s}\) sia uniformemente accelerato con accelerazione
\(\displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{27,8\,m/s-0}}{\mathrm{3,1\,s}}=\mathrm{8,96\,\frac{m}{s^2}}\).
Nel tempo di accelerazione la distanza percorsa è \(\Delta s=\frac{1}{2}a\Delta t^2=\mathrm{43\,m}\).
La forza risultante è \(F_T=ma=\mathrm{13,7\,kN}\).
Il lavoro compiuto dalla risultante è quindi \(W=F\Delta s=\mathrm{5,89\cdot10^5\,J}\). La potenza è data dal rapporto fra tale lavoro e l’intervallo di tempo impiegato:
\(\displaystyle P=\frac{W}{\Delta t}=\mathrm{190\,kW}\).

La richiesta b richiede il confronto fra la potenza utile (appena calcolata) e la potenza massima del motore, dato che non viene fornito. Nella pagina Wikipedia dedicata si legge:
\(P_{max}=\mathrm{740\,CV=544\,kW}\)
da cui si ricava che la potenza dissipata vale \(P_{max}-P=\mathrm{354\,kW}\).

A velocità costante, il lavoro del motore serve interamente a vincere la forza di attrito. Dal dato sulla potenza e velocità massime e dalla relazione \(P=Fv\) si ottiene:
\(\displaystyle F_{attr}=\frac{P_{max}}{v_{max}}=\mathrm{\frac{544\,kW}{94,4\,m/s}=5,8\,kN}\).

Questa è una richiesta a proposito di circuiti con condensatori:

Sto provando a fare l’esercizio n. 48 a pag 763 del volume 2 di L’Amaldi per i licei scientifici, ma a un certo punto mi trovo in difficoltà nell’interpretare i circuiti, per cui non riesco ad andare avanti.

Ecco la mia risposta:

Per una volta faccio un’eccezione, e accetto una richiesta in cui non si riporta il testo dell’esercizio. Nel testo si precisa \(C_1=\mathrm{1\,nF}\), \(C_2=\mathrm{2\,nF}\), \(C_3=\mathrm{3\,nF}\), e si chiede il valore di \(C_4\) affinché \(V_M-V_N=0\).

\(C_1\) e \(C_2\) sono in serie, e così \(C_3\) e \(C_4\), quindi \(Q_1=C_1\Delta V_1\) e \(Q_2=C_2\Delta V_2\) sono uguali, e così \(Q_3=C_3\Delta V_3\) e \(Q_4=C_4\Delta V_4\). Perché i potenziali \(V_M\) e \(V_N\) siano uguali, dev’essere \(\Delta V_1=\Delta V_3\) e \(\Delta V_2=\Delta V_4\).

In altri termini:
\(C_1\Delta V_1=C_2\Delta V_2\)
\(C_3\Delta V_3=C_4\Delta V_4\).
Dividendo membro a membro e tenendo conto delle uguaglianze fra i potenziali:
\(\displaystyle\frac{C_1}{C_3}=\frac{C_2}{C_4}\).
Da questa proporzionalità si ricava che \(C_4\) deve essere il doppio di \(C_3\) come \(C_2\) è il doppio di \(C_1\).

Questo è un esercizio pericoloso:

Dopo aver compiuto qualche esercizio di ginnastica ti sdrai sulla schiena a terra e sollevi una gamba ad angolo retto, mantenendola distesa. Se a questo punto lasci cadere liberamente la gamba fino a colpire il pavimento, qual è la velocità tangenziale del tuo piede appena prima di toccare terra? Assumi che la gamba possa essere considerata come un’asta uniforme di lunghezza 0,95 m che fa liberamente perno attorno all’anca.

Ecco la mia risposta:

Capisco che gli estensori degli esercizi di fisica cerchino di dare a essi un contesto realistico, ma spero vivamente che gli studenti evitino di compiere il gesto descritto durante una vera sessione di ginnastica…

Il centro di massa dell’asta uniforme è a metà lunghezza e all’inizio ha un’energia potenziale relativa al suolo \(\displaystyle U_i=mg\frac{L}{2}\) e un’energia cinetica nulla. All’impatto al suolo l’energia potenziale è nulla mentre l’energia cinetica è \(\displaystyle K_f=\frac{1}{2}I\omega^2\) dove il momento d’inerzia rispetto al perno è \(\displaystyle I=\frac{mL^2}{3}\).
Uguagliando le due energie otteniamo:
\(\displaystyle \frac{mL^2}{6}\omega^2=mg\frac{L}{2}\)
da cui:
\(\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{3g}{L}}\)
e la velocità con cui il povero piede impatta al suolo è \(\displaystyle v=\omega L\).

Questo è un esercizio sulla tensione superficiale:

Un barometro segna la pressione di 725 mmHg. Qual è il valore effettivo della pressione se si tiene conto dei fenomeni di superficie cui dà luogo il mercurio nel capillare di vetro di 1,2 mm di raggio? (Dati: densità mercurio = 13,56 g/cm3; tensione superficiale mercurio = 0,559 N/m; angolo di contatto tra vetro e mercurio = 140°.)

Ecco la mia risposta:

L’esercizio non comporta alcuna particolare difficoltà se si conosce l’espressione matematica della variazione dell’altezza della colonna di fluido in un tubo capillare rispetto al valore in un tubo ordinario. (In caso contrario, l’esercizio è praticamente improponibile.) Tale espressione è:
\(\displaystyle h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}\)
dove:
\(\displaystyle \gamma=\mathrm{0,559\,\frac{N}{m}}\)
\(\displaystyle \theta=\mathrm{140°}\)
\(\displaystyle \rho=\mathrm{13,56\cdot10^3\,\frac{kg}{m^3}}\)
\(\displaystyle g=\mathrm{9,8\,\frac{m}{s^2}}\)
\(\displaystyle r=\mathrm{1,2\cdot10^{-3}\,m}\).
Con questi dati la variazione di altezza della colonna di fluido risulta negativa e pari a circa 5 mm, così che il valore corretto della pressione è 730 mmHg.

Questo è un esercizio sulle onde stazionarie:

Vuoi utilizzare una bottiglia vuota di una bibita come strumento musicale, soffiando sulla sua apertura. Per essere accordata perfettamente la frequenza fondamentale della bottiglia deve essere 440 Hz. Se la bottiglia è alta 26,0 cm, fino a quale altezza devi riempirla di acqua per produrre la frequenza desiderata? Considera la bottiglia come un tubo chiuso a un estremo (la superficie dell’acqua) e aperto all’altro. (Velocità propagazione del suono nell’aria = 343 m/s). Qual è la frequenza della successiva armonica superiore di questa bottiglia?

Ecco la mia risposta:

In un tubo chiuso a un’estremità, l’armonica fondamentale corrisponde a un’onda in cui la lunghezza d’onda è il quadruplo della lunghezza del tubo. Se la frequenza desiderata è \(f\) = 440 Hz e la velocità è \(v\) = 343 m/s, la lunghezza d’onda è \(\lambda=v\cdot T=v/f\) = 0,780 m. Il tubo risonante deve essere lungo perciò 19,5 cm e la bottiglia dovrà essere riempita d’acqua fino a un’altezza di 6,5 cm.

Questa è una domanda sull’energia elettrica:

Un motore elettrico a corrente continua è alimentato da una linea elettrica a 110 V con una corrente di 5,0 A. Determinare l’energia fornita al motore in 1 ora.

Ecco la mia risposta:

In corrente continua qualsiasi dispositivo si comporta, dal punto di vista della dissipazione di energia, come un resistore. È noto che la potenza dissipata su un resistore attraversato da una corrente di intensità \(i\), ai cui capi è stabilita una differenza di potenziale \(\Delta V\), è data dall’espressione \(P=\Delta V\cdot i\). Moltiplicando la potenza per l’intervallo di tempo si ottiene l’energia trasferita, \(\Delta E=P\cdot\Delta t=\mathrm{110\,V\cdot5,0\,A\cdot3600\,s=1,98\,MJ}\).

Questa è una domanda sulla pressione atmosferica:

Sul pavimento di una stanza posta al primo piano di un palazzo, l’atmosfera esercita una forza equivalente ad un peso di alcuni milioni di newton. Perché il pavimento non crolla?

 Ecco la mia risposta:

Perché la pressione atmosferica non è una forza, con un punto di applicazione, una direzione e un verso. In ogni punto in un fluido (ad esempio al primo piano del nostro palazzo, immerso nel fluido che costituisce l’atmosfera) la pressione (in questo caso la pressione atmosferica) ha lo stesso valore su qualsiasi superficie comunque orientata. Il principio di Pascal garantisce che, se in un punto del fluido si esercita su una superficie orientata in un modo qualsiasi un pressione ulteriore, questa pressione ulteriore si comunica invariata in tutti i punti del fluido e su tutte le superfici.
Ora, a meno che l’inquilino del piano terra non stia cercando di fare in casa propria il vuoto pneumatico (nel qual caso non soltanto il soffitto, ma tutte le pareti e gli infissi e le porte sono destinati a cedere molto rapidamente), sotto il pavimento c’è atmosfera proprio come sopra di esso. Di conseguenza la pressione atmosferica è la stessa sopra e sotto, e la forza esercitata sulla faccia superiore del pavimento è uguale a quella esercitata sulla faccia inferiore. Il pavimento resta così in equilibrio.

Questo è un esercizio sull’interferenza della luce:

In una figura di interferenza la frangia centrale luminosa è larga 1,60 cm. La distanza tra lo schermo e le fenditure è 4,00 m.
Quanto vale la distanza tra i terzi minimi di interferenza ai due lati della frangia centrale?

Ecco la mia risposta:

Poiché la distanza tra lo schermo e le fenditure è molto maggiore della larghezza della frangia centrale luminosa (e quindi della distanza fra i primi minimi laterali di interferenza), gli angoli di apertura dei vari picchi di interferenza sono piccoli. In queste condizioni i minimi di interferenza sono equispaziati e la distanza dall’uno all’altro è uguale alla distanza W fra i due primi minimi, la quale è uguale a sua volta alla larghezza della frangia centrale (gli estremi della frangia centrale sono appunto i primi minimi).
La distanza richiesta è uguale a 5 volte la larghezza della frangia centrale.

Questo è un esercizio sulla capacità:

Una sfera metallica di diametro 2R₁ = 30 cm è a un potenziale V₀ = 5,0 kV. Successivamente viene messa a contatto con un’altra sfera, inizialmente scarica, di diametro 2R₂ = 15 cm.
1) Quanto vale la carica su ciascuna sfera?
2) E il potenziale?

Ecco la mia risposta:

La capacità di una sfera conduttrice isolata è \(C=4\pi\epsilon_0 R\). La prima sfera ha di conseguenza una capacità \(C_1=1,67\times10^{-11}\,\mathrm{F}\), mentre la capacità della seconda sfera è la metà, \(C_2=0,83\times10^{-11}\,\mathrm{F}\).
La carica presente inizialmente sulla prima sfera è \(Q_0=C_1 V_0 = 83\,\mathrm{nC}\).
Dopo il contatto la carica si distribuisce sulle sfere in modo che queste raggiungano lo stesso potenziale, quindi in modo direttamente proporzionale alle capacità:
\(V_1=V_2\) da cui \(\frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2}\).
Dividendo la carica totale in tre parti e assegnandone due alla sfera di capacità doppia si ottiene \(Q_1=56\,\mathrm{nC}\) e \(Q_2=28\,\mathrm{nC}\).
Il valore comune del potenziale risulta \(\frac{Q_1}{C_1}=3,3\,\mathrm{kV}\).

Questo è un esercizio sul campo elettrico:

Una particella di massa m = 0,002 g è in equilibrio in un punto dello spazio in cui è presente un campo elettrico di 3×10^3 N/C diretto verso l’alto. Determina la carica della particella.

Ecco la mia risposta:

La particella è soggetta a due forze: la forza peso P = mg diretta verso il basso e la forza elettrica F = qE diretta, come il campo elettrico E, verso l’alto. Se la particella è in equilibrio le due forze si annullano, quindi hanno la stessa intensità: mg = qE, da cui si ottiene:
\(\displaystyle q=\frac{mg}{E}=\mathrm{\frac{2\cdot10^{-6}\,kg\cdot9,8\,m\,s^{-2}}{3\cdot10^3\,N\,C^{-1}}=6,9\cdot10^{-9}\,C}\).

Questo è un quesito sul teorema di Ampère:

Un solenoide è formato da N = 2000 spire, ha una lunghezza L = 15 cm ed è percorso da una corrente di intensità i = 0,8A. Calcola la circuitazione del campo magnetico lungo la linea orientata indicata in figura:
a) in base alla definizione
b) usando il teorema di Ampère.

Ecco la mia risposta:

La figura è la seguente:

In base alla definizione di circuitazione, bisogna suddividere il percorso indicato in tratti lungo i quali il campo \(B\) sia costante, moltiplicare l’intensità di \(B\) in ciascun tratto per la lunghezza del tratto, e sommare tutti i prodotti. Nel nostro caso l’unico prodotto diverso da zero (perché lì il campo è diverso da zero) è quello lungo il tratto di lunghezza \(L\) interno al solenoide. All’interno del solenoide il campo vale:
\(\displaystyle B = \mu_0\frac{Ni}{L}\)
per cui la circuitazione vale:
\(\displaystyle \Gamma=BL = \mu_0Ni\).

D’altra parte, il teorema di Ampère afferma che la circuitazione del campo magnetico è uguale a:
\(\displaystyle \Gamma=\mu_0i_{tot}\)
dove \(i_{tot}\) è la corrente totale concatenata al percorso di circuitazione, in questo caso semplicemente pari a \(N\) volte la corrente \(i\):
\(\displaystyle \Gamma=\mu_0Ni\).

Come si vede, i due procedimenti portano allo stesso risultato.

Questo è un esercizio sul teorema lavoro – energia cinetica:

Calcola la distanza tra due lastre cariche che generano un campo elettrico uniforme di modulo E = 10^3 V/m. sapendo che un elettrone, inizialmente fermo in prossimità della lastra negativa, arriva su quella positiva con una velocità v = 8,4 x10^6 m/s.

Ecco la mia risposta:

La variazione di energia cinetica dell’elettrone vale
\(\Delta K = K_f – 0 = \frac{1}{2}mv^2 = \mathrm{3,21\cdot10^{-17}\,J}\)
e per il teorema lavoro – energia cinetica è uguale al lavoro compiuto dalla forza elettrica.
Poiché il campo elettrico è uniforme questo lavoro è uguale a
\(\mathrm{3,21\cdot10^{-17}\,J} = W = F\Delta s = eE\Delta s\)
da cui
\(\displaystyle\Delta s = \frac{W}{eE} = \mathrm{20\,cm}\).

Questo è un esercizio sul moto accelerato:

Una particella di massa m= 0,5·10^(-18) kg e carica q = -1,6·10^(-19) C, inizialmente ferma, accelera sotto l’azione del campo gravitazionale e di un campo elettrico costante diretto verso l’alto e di intensità E =100 N/C. Determina l’accelerazione della particella e la velocità che ha acquistato dopo 1,2 s.

Ecco la mia risposta:

Le due forze che agiscono sulla particella hanno lo stesso verso, così l’intensità della forza risultante si trova sommando fra loro le due intensità. Considerando positivo l’orientamento verso il basso:
\(\displaystyle F_{tot} = m\cdot g + q\cdot E = \mathrm{0,5\cdot10^{-18}\,kg\cdot9,8\,\frac{N}{kg} + (-1,6\cdot10^{-19}\,C)\cdot(-100)\,\frac{N}{C}  = 2,1\cdot10^{-17}\,N}\).

L’accelerazione si trova dividendo la forza totale per la massa:
\(\displaystyle a = \frac{F_{tot}}{m} = \mathrm{42\,\frac{m}{s^2}}\)
da cui, moltiplicando per l’intervallo di tempo, si ricava la velocità dopo 1,2 s:
\(\displaystyle v(\mathrm{1,2\,s}) = a\cdot\Delta t + v_0 = \mathrm{50\,\frac{m}{s}}\).

Questo è un esercizio sugli ordini di grandezza:

Una formica di massa 5 mg è in grado di sollevare circa 100 volte il proprio peso e si sposta con velocità v= 10^(-2) m/s. Supponi che le 10^6 formiche di un formicaio debbano spostare 1 T di detriti per 10 m e stima il tempo necessario.

Ecco la mia risposta:

Ogni formica può sollevare una massa pari a \(\mathrm{500\,mg=0,5\,g=0,5\cdot10^{-3}\,kg}\). Per sollevare una massa di \(\mathrm{1\cdot10^3\,kg}\) ci vogliono perciò \(\displaystyle\mathrm{\frac{1\cdot10^3\,kg}{0,5\cdot10^{-3}\,kg}=2\cdot10^6}\) formiche. Ogni formica del formicaio devo percorrere la distanza una prima volta, tornare indietro, quindi ripercorrere la distanza una seconda volta, per un percorso complessivo pari a \(\mathrm{30\,m}\).
Alla velocità indicata il tempo necessario è \(\displaystyle\mathrm{\frac{30\,m}{1\cdot10^{-2}\frac{m}{s}}=3\cdot10^3\,s}\).

Questo è un esercizio sul moto parabolico:

Un protone entra in una regione dello spazio tra due placche piane cariche distanti 6 mm, nel punto medio tra le due, con velocità v = 8×10^4 m/s perpendicolare alle linee di forza del campo elettrico, il quale è uniforme e ha intensità E = 800 N/C. Determina quale distanza il protone percorre orizzontalmente prima di cadere sulla placca negativa.

Ecco la mia risposta:

Il protone percorre perpendicolarmente alle placche una distanza \(\displaystyle\Delta h = \mathrm{3\,mm}\) muovendosi di moto uniformemente accelerato con accelerazione \(\displaystyle a =\frac{F}{m} = \frac{q_{protone}\cdot E}{m_{protone}} = \mathrm{7,67\cdot10^9\frac{m}{s^2}}\).
Per percorrere tale distanza occorre un intervallo di tempo \(\displaystyle\Delta t = \sqrt{\frac{2\Delta h}{a}}=\mathrm{2,80\cdot10^{-9}\,s}\).
In questo intervallo di tempo, alla velocità indicata il protone percorre una distanza parallela alle placche pari a \(\displaystyle\Delta s = v\Delta t=\mathrm{2,24\cdot10^{-2}\,m}\).

Questo è un esercizio sulla legge di Coulomb:

Quattro cariche puntiformi (Q_1 = 2,0 C, Q_2 = Q_4 = 5,0 C, Q_3 = 3,0 C) sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato di lato 40 cm. Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1.
Determina poi direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone (costante dielettrica relativa = 21).
Al centro del quadrato è quindi posta una carica Q = 3,0 C. Determina direzione, verso e intensità del vettore forza elettrica risultante sulla carica Q.

Ecco la mia risposta:

Tracciamo un disegno e indichiamo i vettori delle forze \(\vec F_2\), \(\vec F_3\) e \(\vec F_4\) esercitate su \(Q_1\) rispettivamente da \(Q_2\), \(Q_3\) e \(Q_3\).

I vettori delle forze sono allineati con i segmenti che uniscono le cariche e corrispondono a forze repulsive. Come si vede dal disegno \(F_2=F_4\) perché \(Q_2=Q_4\), quindi la somma \(\vec F_2+\vec F_4\) è allineata, come \(\vec F_3\), con la diagonale del quadrato. Per sommare le tre forze proiettiamo \(\vec F_2\) e \(\vec F_4\) su \(\vec F_3\), quindi sommiamo i tre moduli.
\(\displaystyle F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 \cdot Q_2}{l^2} = 5,6\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(\displaystyle F_3 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1 \cdot Q_3}{\left(\sqrt 2 l\right)^2} = 1,7\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}}=F_2 \cdot \cos(45°) = 4,0\cdot10^{11}\mathrm{N}\)
\(F_{4\; \mathrm{lungo\;F_3}}=F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}}\)
\(F_{\mathrm{tot}} = F_{2\; \mathrm{lungo\;F_3}} + F_3 + F_{4\; \mathrm{lungo\;F_3}} = 9,7\cdot10^{11}\mathrm{N}\).

Nel caso che le cariche siano immerse in acetone, ogni forza viene ridotta di un fattore uguale a \(\epsilon_r = 21\). Anche la forza totale viene ridotta dello stesso fattore: \(F’_{\mathrm{tot}}=0,46\cdot10^{11}\mathrm{N}\).

Con le medesime tecniche si può risolvere l’ultima parte del problema.

Questo è lo svolgimento dettagliato di un esercizio già affrontato:

Nel post Una gara di corsa discutevo un esercizio di cinematica presentando un sistema di equazioni che, risolto, forniva la risposta all’esercizio. Una richiesta sollecita lo svolgimento esplicito del sistema.

Ecco la mia risposta:

Di solito non do seguito a richieste di questo genere. Posso farlo ogni tanto, come faccio ora. Ma la regola è che un certo numero di passaggi lo studente deve saperli fare da solo.

Il sistema era formato da queste due equazioni:
\(t_1 + t_2 = 7,88\,\mathrm{s}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}3,80\mathrm{\frac{m}{s^2}}t_1^2+3,80\mathrm{\frac{m}{s^2}}t_1\cdot t_2=50\,\mathrm{m}\).

Per migliorare la leggibilità introduco i simboli \(x=t_1\), \(y=t_2\), \(\alpha=7,88\,\mathrm{s}\), \(\beta=1,90\,\mathrm{m/s^2}\), \(\gamma=50\,\mathrm{m}\). Il sistema diventa:
\(x+y=\alpha\)
\(\beta x^2 + 2\beta x y = \gamma\).

Ricavo \(y=\alpha-x\) dalla prima equazione e sostituisco nella seconda:
\(\beta x^2 + 2\beta\alpha x – 2\beta x^2 = \gamma\)
\(\beta x^2 -2\alpha\beta x + \gamma = 0\)
e applicando la risolvente si ha:
\(\displaystyle x = \frac{2\alpha\beta \pm \sqrt{4\alpha^2\beta^2 – 4\beta\gamma}}{2\beta}\).
Questa espressione, una volta sostituiti i valori delle costanti, fornisce due risultati (13,86 s e 1,90 s) per \(x=t_1\). Soltanto il maggiore dei due risultati, però, fornisce un valore accettabile (positivo) per \(y=\alpha-x\).

Il post originale fornisce le espressioni da usare per il calcolo delle distanze \(s_1\) e \(s_2\).