Francesca propone un esercizio:

Durante una frana un masso di 520 kg precipita, da una posizione di equilibrio, giù lungo un pendio di 500 m e per un dislivello di 300 m. Il coefficiente di attrito dinamico fra il masso e il pendio è 0,25. Qual è l'energia potenziale gravitazionale prima della frana, se U = 0 al piede dello scoscendimento? Quanta energia meccanica viene trasformata in energia termica dalle forze di attrito durante la discesa? Quando giunge in fondo qual è l'energia cinetica del masso e la sua velocità?

Ecco la mia risposta:

Nella posizione iniziale l'energia potenziale gravitazionale del masso è U_in = mgh = 1,53 MJ. L'energia potenziale viene in parte trasformata in energia interna dal lavoro della forza di attrito durante la caduta. Trattando il pendio come un piano inclinato di inclinazione α, troviamo che la componente della forza peso perpendicolare al pendio è mg·cos(α) = mg·cos[arcsin(h/l)] = 4,08 kN, perciò la forza di attrito è 0,25 volte questo valore, pari a F_attr = 1,02 kN, e il lavoro eseguito è W = F_attr·l = 0,51 MJ.
Dalla differenza fra l'energia iniziale e quella dissipata per attrito si trova che l'energia cinetica finale è 1,02 MJ e la velocità finale è 63 m/s.

Roberto ha fretta:

Se il limite di velocità sulle autostrade è di 130 km/h e un automobilista è costretto per mezz'ora a un'andatura di 80 km/h, per quanto tempo deve guidare senza superare il limite di velocità per raggiungere la velocità media di 120 km/h?

Ecco la mia risposta:

Chiamando T l'intervallo complessivo di guida (in ore), sappiamo che la distanza percorsa deve essere pari a 120 km/h·T, in modo da avere la velocità media desiderata. Nella prima mezz'ora l'automobilista ha percorso 40 km. Il resto dell'intervallo T deve essere percorso a 130 km/h. Possiamo scrivere perciò:
     40 km + 130 km/h · (T – 0,5) = 120 km/h · T
da cui ricaviamo:
     10 km/h · T = 25 km
e infine T = 2,5 h. Per raggiungere il suo bizzarro obiettivo l'automobilista deve guidare ancora per 2 ore.

Alessandro è in difficoltà:

Un corpo si muove rispetto ad un sistema di riferimento O' di legge oraria x(t)= 4 + 2t – 3t². Scrivere l'espressione della velocità e dell'accelerazione del corpo rispetto al sistema di riferimento O, sapendo che O' si muove rispetto ad O della seguente legge oraria: O'(t)= 3 – 4t.

Ecco la mia risposta:

La legge oraria dell'origine O' del primo sistema di riferimento rispetto all'origine O del secondo sistema è una legge lineare, cioè contiene al più la prima potenza di t. Di conseguenza O' si muove rispetto a O (e viceversa) di moto rettilineo uniforme. All'istante t=0 O' occupa l'ascissa 3 m nel sistema di origine O, e la velocità di O' rispetto a O è –4 m/s. Se O è un sistema inerziale, lo è anche O'.

Passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, le accelerazioni rimangono invariate. Questa è una conseguenza del principio di relatività: le leggi fisiche (e dunque le forze e di conseguenza le accelerazioni) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Poiché l'accelerazione del corpo in questione è pari a 2·(–3 m/s²) = –6 m/s² nel sistema con origine in O', questa è anche la sua accelerazione nel sistema O.

La legge di composizione delle velocità afferma che la velocità di un corpo in un sistema O è uguale alla velocità in un sistema O' sommata alla velocità di O' rispetto ad O. Pertanto la velocità del corpo rispetto a O è 2 m/s + (–4 m/s) = –2 m/s.

P.S. Le leggi fornite andrebbero scritte come x(t) = 4 m + (2 m/s)t + ½(–6 m/s²)t² e O'(t) = 3 m + (–4 m/s)t. Ma così l'esercizio diventa troppo facile…

Caterina propone un esercizio:

Una barra cilindrica di rame, lunga 1,40 m, permette il passaggio di un flusso di calore pari a 320 J/s. Una delle sue estremità si trova a una temperatura di 12,3 °C, l'altra a 190,0 °C. Qual è il diametro della barra? A che temperatura deve trovarsi l'estremità più calda perché il flusso di calore raddoppi?

Ecco la mia risposta:

La legge di Fourier della conduzione del calore si può scrivere nella forma:
     ΔQ/Δt = –kA·ΔT/Δs
dove ΔQ/Δt è il flusso di calore, ovvero la velocità con cui il calore attraversa una sezione della sbarra; k è il coefficiente di conduttività termica del rame, pari a 401 W·m^–1·°C^–1; A è l'area della sezione della sbarra, data anche da π·d²/4, dove d è il diametro; e ΔT/Δs è il gradiente di temperatura lungo la sbarra, ovvero la variazione di temperatura per unità di lunghezza. Il segno meno è legato al fatto che il flusso è diretto verso l'estremo più freddo.

Dai dati si ottiene:
     d = √[(4·ΔQ/Δt)·(Δs)/(π·k·Δt·ΔT)] = 0,089 m.

Ricavando invece ΔT si ottiene:
     ΔT = (Δs/k·A)·ΔQ/Δt
che permette di rispondere al secondo quesito.

Valeria propone un esercizio:

Un campione di 19,2 g di ghiaccio secco (biossido di carbonio solido) sublima (evapora) in un recipiente. Calcolare il lavoro di espansione compiuto contro una pressione esterna costante di 0,995 atm, mantenendo la temperatura costante a 22 °C. Assumere che il volume iniziale del ghiaccio secco sia trascurabile e che CO₂ abbia un comportamento da gas ideale.

Ecco la mia risposta:

Una quantità di CO₂ pari a una mole ha una massa di 44,01 g. Il campione in questione contiene una quantità di CO₂ pari a n = (19,2 g)/(44,01 g) = 0,436 mol.

A una pressione p = 0,995 atm = 101 kPa e a una temperatura T = 22 °C = 295 K, una simile quantità di gas perfetto occupa un volume:
     V = nRT/p = 10,6·10^–3 m³ = 10,6 L.
Nell'ipotesi di una espansione isobara alla pressione p da un volume pari a 0 fino al volume V, il lavoro termodinamico risulta:
     W = p·ΔV = 1,07 kJ.

Vincenzo è curioso:

Vorrei sapere come fare a calcolare il campo magnetico all'interno di un filo rettilineo infinito attraverso il teorema di ampere e come calcolare il momento magnetico orbitale di un atomo idrogenoide.

Ecco la mia risposta:

Non credo che Vincenzo intendesse davvero il campo magnetico all'interno di un filo (che viene trattato come infinitamente sottile), ma piuttosto quello che circonda il filo.
Gli esperimenti di Oersted mostrarono che tale campo magnetico ha linee di campo circolari concentriche con il filo, e che lungo tali linee il campo (come esige la simmetria) è uniforme. Poiché il teorema di Ampère afferma che la circuitazione Γ del campo magnetico è data dal prodotto della permeabilità magnetica μ₀ per la corrente i all'interno del percorso di circuitazione, conviene scegliere come percorso una linea di campo di raggio r. Lungo un tale percorso la circuitazione risulta pari semplicemente a B·2πr. Dal teorema di Ampère:
     B·2πr = Γ = μ₀·i
ricaviamo:
     B = μ₀·i / 2πr.

Per il momento magnetico orbitale di un atomo idrogenoide, cioè con un singolo elettrone, possiamo trattare l'orbita dell'elettrone come un circuito percorso da una corrente di intensità i = e·v/2πr (dove e è la carica, r il raggio dell'orbita e v la velocità dell'elettrone, da determinarsi a seconda dei casi), quindi utilizzare l'espressione del momento magnetico di una spira circolare di corrente.

Valeria ha una domanda:

Una macchina termica funziona tra 210 °C e 35 °C. Calcolare la quantità minima di calore che bisogna sottrarre alla sorgente calda per ottenere 2000 J di lavoro.

Ecco la mia risposta:

La quantità minima di calore necessaria è quella richiesta da una macchina termica reversibile che lavori fra le temperature T_C = 210 °C = 483 K e T_F = 35 °C = 308 K. Il rendimento di una macchina simile è W/Q_C = η = 1 – T_F/T_C = 0,362. Da questa relazione si ottiene Q_C = W/η = 5520 J.

Giorgio propone un esercizio:

Dal terrazzo di una casa alta 57 m una palla è calciata verso l'alto con velocità iniziale di 43 km/h. Qual è la massima altezza rispetto al terreno raggiunta dal pallone? Dopo quanti secondi il pallone raggiunge la massima altezza? Dopo quanti secondi dal lancio il pallone raggiungerà il suolo?

Ecco la mia risposta:

Orientando l'asse y verso l'alto e ponendo l'origine al suolo, l'equazione del moto della palla risulta:
     y = y₀ + v₀·t + ½a·t² = 57 m + (11,9 m/s)·t + ½(–9,8 m/s²)·t²
mentre l'equazione della velocità risulta:
     v = v₀ + a·t = 11,9 m/s + (–9,8 m/s²)·t.

L'istante di massima altezza è quello in cui la velocità si annulla prima di cambiare segno, cioè prima che il moto si inverta. Ponendo v = 0 si ottiene dalla seconda equazione:
     t_max = –(11,9 m/s) / (–9,8 m/s²) = 1,21 s,
Sostituendo questo valore nella prima equazione si ottiene y_max = 64 m.

La palla ricade al suolo quando y = 0. Dalla prima equazione si ottengono due soluzioni. Scartando quella negativa si ha t_f = 4,83 s. La palla raggiunge il suolo dopo 4,83 s dal lancio.

Loris ha un problema:

Un oggetto molto pesante è fermo su un piano con coefficiente di attrito k = 0,2. Sapendo che due ragazzi che lo tirano con forze di intensità 60 N, formanti un angolo di 60°, lo accelerano di appena 0,1 m/s², determina la massa dell'oggetto.

Ecco la mia risposta:

Detta m la massa, la forza peso e la forza di attrito risultano rispettivamente F_p = mg e F_a = kmg. La forza totale dei due ragazzi può essere trovata con il metodo punta-coda: la somma risulta F_R = 2 · 60 N · cos(30°) = 104 N.

Per la seconda legge di Newton possiamo scrivere:
     ma = F_tot = F_R – F_a = F_R – kmg
da cui:
     (a + k·g)·m = F_R
e infine:
     m = F_R / (a + k·g) = 50,4 kg.

Valeria pone alcune domande:

Un thermos contenente del latte è agitato vigorosamente. Consideriamo che il sistema sia il latte.

1. Ci sarà un aumento di temperatura come risultato dell'agitazione?
2. Si è aggiunto calore al sistema?
3. Si è compiuto lavoro sul sistema?
4. L'energia interna del sistema cambia?

Ecco la mia risposta:

1. Sì, dell'energia si trasferisce al latte, che non acquista però né energia cinetica né potenziale.
2. No, perché il thermos isola il latte da fonti di calore.
3. Sì, il latte si è spostato sotto l'azione di una forza.
4. Sì, il lavoro compiuto, e dissipato dagli attriti interni, va ad aumentare l'energia interna e quindi la temperatura.

Samuele ha una difficoltà:

Mediante una trasformazione isobara un gas passa dal volume di 40,003 dm³ al volume di 67,008 dm³, raggiungendo una temperatura di 282,0 °C. Quanto risultava la temperatura prima dell'inizio della trasformazione?

Ecco la mia risposta:

Trattando il gas come gas perfetto possiamo scrivere:
     p₁·V₁ = n·R·T₁
da cui:
     V₁/T₁ = n·R/p₁
per lo stato iniziale, e:
     V₂/T₂ = n·R/p₂
per lo stato finale. Poiché p₁ = p₂, si ha:
     V₁/T₁ = V₂/T₂
e infine:
     T₁ = T₂·V₁/V₂ = 331,4 K = 58,3 °C.

Giulia è curiosa:

È possibile che durante l'evaporazione la temperatura dell'acqua contenuta in un bicchiere diminuisca? O rimane costante come quando è alla temperatura d'ebollizione?

Ecco la mia risposta:

Effettivamente l'evaporazione dell'acqua produce una diminuzione di temperatura, come sa chiunque abbia provato la sensazione di frescura data dal vento che asciuga il sudore.
La differenza fra l'evaporazione e l'ebollizione sta nel carattere globale o meno del fenomeno. Nell'ebollizione tutta la massa d'acqua è coinvolta, mentre nell'evaporazione sono le molecole più veloci a lasciare il volume di liquido e passare allo stato gassoso. Quando l'acqua perde le molecole più veloci vede diminuire l'energia cinetica media delle molecole restanti e quindi la temperatura.

Carmine propone un esercizio:

250 g di acqua alla temperatura di 20° C vengono mescolati in un contenitore con pareti adiabatiche con 300 g di acqua alla temperatura di 40° C in presenza di 200 g di ghiaccio a 0° C. Calcolare la quantità di ghiaccio che non fonde (calore latente di fusione del ghiaccio 333 kJ/kg).

Ecco la mia risposta:

Se rimane del ghiaccio, la temperatura finale della miscela sarà 0 °C. Il calore ceduto dall'acqua a 20 °C (Q₁ = 0,250 kg · 4186 J·K^–1·kg^–1 · 20 K = 21 kJ) e dall'acqua a 40 °C (Q₂ = 0,300 kg · 4186 J·K^–1·kg^–1 · 40 K = 50 kJ) contribuisce interamente alla fusione del ghiaccio. Dividendo l'energia disponibile a questo scopo (71 kJ) per il calore di fusione del ghiaccio, si ottiene la massa di ghiaccio fuso, m = 213 g.

Riccardo è in difficoltà:

Ad un corpo di massa m = 2 kg, inizialmente fermo, vengono applicate due forze costanti, di modulo F = 10 N, che formano un angolo α = 30°. Determinare il tempo impiegato dal corpo per percorrere una distanza Δs = 10 m.

Ecco la mia risposta:

La risultante di due forze di uguale modulo F, formanti un angolo α, è diretta come la bisettrice dell'angolo α e ha modulo pari a F_T = 2·F·cos(α/2).

Se la forza è costante, dividendola per la massa si ottiene l'accelerazione che caratterizza il moto uniformemente accelerato del corpo: a = F/m.

In un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla, la distanza è direttamente proporzionale al quadrato del tempo impiegato: Δs = ½a·Δt².
Noti Δs e a, si ricava Δt = √(2·Δs/a).

Gioia è in difficoltà:

Un treno percorre un primo tratto lungo 25 km nel tempo di 12 minuti e 21 s poi un secondo tratto lungo 20 km nel tempo di 8 minuti e 17 secondi. Calcolare la velocità media nel primo tratto, nel secondo tratto e nel tragitto complessivo sia in m/s sia in km/h.

Ecco la mia risposta:

La velocità media è per definizione il rapporto v = Δs/Δt fra distanza percorsa Δs e intervallo di tempo impiegato Δt.

Nel primo tratto Δs = 25 km = 25000 m e Δt = 12·60 s + 21 s = 741 s = 741 s/3600 (s/h) = 0,2058 h.

Nel secondo tratto Δs = 20 km = 20000 m e Δt = 497 s = 0,1381 h.

Complessivamente Δs = 45 km e Δt = 1238 s.

Con questi dati si possono calcolare le velocità richieste.

Efrem è in difficoltà:
Due particelle di uguale massa e di carica uguale a 1,5 x10-10 C si respingono a 1 km di distanza. Quanto dovrebbero valere le loro masse perché la forza di attrazione gravitazionale compensasse la forza di repulsione elettrica?

Ecco la mia risposta:
La legge di Coulomb della forza elettrostatica fra due cariche \(q_1\) e \(q_2\) poste a una distanza \(r\) si può scrivere come:\[\displaystyle F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1\cdot q_2}{r^2}\]dove \(\epsilon_0=8,854\cdot10^{-12}\,\mathrm{C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}\) è la costante di permittività elettrica.

La legge di Newton della forza gravitazionale fra due masse \(m_1\) e \(m_2\) poste a una distanza \(r\) ha una forma molto simile:\[\displaystyle F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\] dove \(G=6,67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\) è la costante di gravitazione universale.

Se la distanza \(r\) è la stessa, l’uguaglianza della forza di repulsione elettrica fra due cariche uguali e della forza di attrazione gravitazionale fra due masse uguali equivale alla condizione:\[\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot q^2 = G\cdot m^2\]da cui:\[\displaystyle m=\sqrt{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,G}}=\mathrm{1,7\,kg}.\]

Giancarlo è curioso:
Aumentando la temperatura di una lastra metallica essa si dilata. Se all’interno della lastra è praticato un foro, anch’esso si dilata, allargandosi. Domanda: come mai il materiale della lastra non si dilata “nel” foro riducendolo? C’è una motivazione a livello atomico?

Ecco la mia risposta:
Mi piacerebbe sapere se questa domanda è davvero una curiosità di Giancarlo, oppure un quesito posto da un libro di testo o da un insegnante. Confesso anche che mi piacerebbe sapere cosa fa realmente un buco praticato in una lastra sottile quando questa viene riscaldata. Si allarga in maniera uniforme? Si deforma? Essere un fisico vuol dire anche avere la convinzione di non sapere davvero qualcosa finché non la si studia sperimentalmente.

Comunque, ho pochi dubbi sul fatto che il buco si allarghi — più o meno. La ragione per cui escludo che si restringa è che, se lo facesse, le regioni del metallo lungo l’orlo del buco si avvicinerebbero. Ma la ragione per cui un oggetto solido si dilata è che l’aumento dell’agitazione termica fa aumentare la distanza fra le porzioni del solido, anche a livello molecolare. E la distanza aumenta se il buco si allarga, non se si restringe.

Alessandro ha un problema:
Due lastre bidimensionali infinite e cariche uniformemente con densità di carica +σ e -σ si intersecano a 90°. Supponendo che esse giacciano sui piani xz e yz, si chiede di a) tracciare le linee di forza del campo elettrico risultante, b) calcolare il campo nel punto P(a,a,0), sapendo che σ= 5*10-6 C/m2 e a = 2 mm.

Ecco la mia risposta:
La soluzione del problema dipende in gran parte dallo schema dei vettori campo elettrico riportato qui di seguito:

La lastra A positiva, allineata con l’asse y (ma questo non è decisivo) è qui rappresentata in blu, come pure i vettori del suo campo elettrico. La lastra negativa B, allineata con l’asse x, è rappresentata in rosso, come i vettori del campo relativo. I due campi sono uniformi, cioè indipendenti dalla distanza da ciascuna lastra, e sono rispettivamente uscente dalla lastra A quello della lastra positiva, entrante nella lastra B quello della lastra negativa. Per l’uniformità la posizione esatta del punto P non è importante. In ogni punto dello spazio i due vettori si sommano a 90° e con uguale intensità, per cui il vettore risultante \(\vec E_T\) è orientato a 45° con ciascuno di essi e ha un’intensità pari a \(\sqrt 2\) volte quella dei singoli vettori. Le linee di campo sono in ogni quadrante orientate parallelamente ai vettori campo elettrico totale.

Giovanna propone un esercizio:
Uno strato di olio spesso 50 mm galleggia su uno strato d’acqua. Sullo strato d’olio incide un raggio luminoso con un angolo di 45° rispetto alla normale superficie. Determinare la pressione esercitata dallo strato d’olio sullo strato d’acqua e l’angolo rispetto alla normale formato dal raggio di luce rifratto nell’acqua.

Ecco la mia risposta:
La sovrappressione alla base dello strato di olio, e quindi la pressione che esso esercita sull’acqua sottostante in aggiunta alla pressione atmosferica, può essere ricavata dalla legge di Stevin: \\Delta (p=d\cdot g\cdot h\). Accentando per la densità dell’olio (ma di che olio si tratta? Oli diversi hanno densità diverse) un valore \(d=\mathrm{0,92\cdot10^3\,kg\cdot m^{-3}}\) si ottiene \(\Delta p=\mathrm{4,7\cdot10^2\,Pa}\).

Anche per quanto riguarda l’indice di rifrazione bisognerebbe conoscere la natura dell’olio in questione. Per l’olio di oliva si trova \(n_{olio}=1,47\). Dalla legge di Snell, \(\sin\hat i=n\cdot\sin\hat r\) si ricava che il seno dell’angolo di rifrazione dall’aria all’olio vale \(\sin\hat r=0,48\) e \(\hat i=29°\).
Per la successiva rifrazione dall’olio all’acqua occorre l’indice di rifrazione relativo dei due mezzi, \(\displaystyle n_r=\frac{n_{acqua}}{n_{olio}}=\frac{1,33}{1,47}=0,905\). Sempre dalla legge di Snell si ricava quindi, assumendo ora \(\hat i=29°\), \(\hat r=32°\).

Efrem insiste:
Quale dovrebbe essere la carica di un corpo affinché la forza di repulsione che esercita su un altro corpo di uguale carica posto alla distanza di 10 cm sia uguale al peso di un corpo di massa 1 kg?

Ecco la mia risposta:
Rimando alla legge della forza di Coulomb riportata nel post Repulsione elettrica e attrazione gravitazionale. Anche in questo caso il valore di tale forza deve essere uguale a quello di un’altra forza, la forza peso su un corpo di massa pari a 1 kg: \(F_{peso}=mg=\mathrm{9,8\,N}\).
Dall’equazione:\[\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0\,r^2}\cdot q^2 =\mathrm{9,8\,N}\]si ricava \(\displaystyle q=\sqrt{\mathrm{9,8\,N}\cdot4\pi\epsilon_0\,r^2}=\mathrm{3,3\cdot10^{-6}\,C}\).