Giada propone un esercizio:

Uno strano congegno è costruito in modo da esercitare una forza repulsiva costante di 10 N sugli oggetti che sono a distanza inferiore a 4 cm da esso. Questa forza si annulla di colpo alla distanza di 4 cm e subito diventa attrattiva, con un'intensità di –2 N fino a 12 cm di distanza dal congegno. Da qui in avanti la forza esercitata sugli oggetti è nulla. Disegna il grafico della forza, in funzione della distanza. Calcola il lavoro che fa questo congegno per spostare un oggetto da 2 cm a 10 cm di distanza.

Ecco la mia risposta:

Uno strano congegno davvero…

Il grafico della forza in funzione della distanza è rappresentato qui a fianco. Le aree ombreggiate corrispondono al lavoro svolto nelle condizioni indicate.

Il lavoro eseguito da 0,02 m a 0,04 m è positivo ed è uguale a
     W₁ = F·s = 10 N · 0,02 m = 0,20 J.

Il lavoro eseguito da 0,04 m a 0,10 m è negativo ed è uguale a
     W₂ = F·s = –2 N · 0,06 m = –0,12 J.

Il lavoro complessivo è W = W₁ + W₂ = 0,20 J – 0,12 J = 0,08 J.

Arlinda ha un problema:

Un raggio di luce solare passa da un diamante a un vetro Crown; l'angolo di incidenza è di 35°. Gli indici di rifrazione per le componenti blu e rosse della luce sono, per il blu: n_diamante = 2,444, n_Crown =1,531; e per il rosso: n_diamante = 2,410, n_Crown = 1,520. Determina l'angolo formato dal raggio blu e dal raggio rosso rifratti nel vetro Crown.

Ecco la mia risposta:

La legge di Snell della rifrazione della luce afferma che l'angolo α₂ formato dal raggio rifratto con la normale alla superficie d'incidenza è legato all'angolo α₁ formato dal  raggio incidente dalla relazione:
     sin α₂ = sin α₁/n,
dove n = n₂ / n₁ è l'indice di rifrazione relativo fra i due mezzi di propagazione. Nel nostro caso n_b = n_Crown / n_diamante = 0,6264 per il blu e n_r = 0,6307 per il rosso.

Dalla legge di Snell ricaviamo l'angolo formato dalla luce blu nel vetro Crown, α_b = arcsin[sin(35°)/0,6264] = 66°, e l'angolo formato dalla luce rossa, α_r = arcsin[sin(35°)/0,6307] = 65°.
Di conseguenza l'angolo formato dai due colori è di 1°.

Roberto propone un problema:

Due corpi di massa rispettivamente m₁ = 5 kg e m₂ = 4 kg sono appoggiati a due piani inclinati che formano con il suolo angoli rispettivamente di 30° e 45°, adiacenti fra loro. Determina se il sistema si muove, sapendo che il coefficiente di attrito su entrambi i piani è µ = 0,3.

Ecco la mia risposta:

Le componenti delle forze peso sui due corpi lungo i due piani inclinati sono rispettivamente pari a P₁ = m₁g·sin(30°) = 24,5 N e P₂ = m₂g·sin(45°) = 27,7 N, mentre le forze di attrito sono rispettivamente A₁ = µm₁g·cos(30°) = 12,7 N e A₂ = µm₂g·cos(45°) = 8,3 N.

Sul sistema agisce una forza totale pari alla somma delle due forze peso (dirette in verso contrario) e delle due forze di attrito. Assumendo come verso positivo quello lungo il quale cadrebbe il primo corpo, la forza motrice dovuta alla gravità vale F = P₁ – P₂ = –3,2 N. Se non ci fosse l'attrito, il sistema si muoverebbe, con il primo corpo trainato verso l'alto dalla caduta del secondo.
Ma l'attrito c'è, ed esercita una forza maggiore delle forza motrice, che quindi non è in grado di mettere in moto il sistema.

Valeria propone un esercizio:

Un panno con capacità termica C = 1 kJ/°C e temperatura iniziale T₀ = 5 °C viene poggiato sulla fronte di un bambino febbricitante con una temperatura di 37,5 °C. Essendo il calore specifico del bambino e quello dell'acqua uguali e pari a c = 4186 J/(kg·°C), ed essendo la massa del bambino m = 25 kg, dopo quante spugnature la temperatura scenderà al di sotto di 37 °C?

Ecco la mia risposta:

Non so quanto si possa considerare realistico questo problema…

In ogni caso, il bambino dovrebbe perdere un'energia interna pari a ΔU _b = C·ΔT = 4186 J/(kg·°C)·(25 kg)·(0,5 °C) = 52 kJ.

Ad ogni spugnatura, il panno assorbe un'energia termica pari a ΔU _p = C·ΔT = (1 kJ/°C)·(32,5 °C) = 32,5 kJ. Dovrebbero bastare due spugnature.

Luca ha una domanda:

Un camion di massa m = 800 kg percorre una salita con velocità iniziale v₁ = 25 m/s. Al termine della salita la sua velocità si è ridotta a v₂ = 15 m/s e il dislivello tra l'inizio e la fine della salita è h = 3,0 m. Calcolare il lavoro compiuto dal motore per affrontare la salita.

Ecco la mia risposta:

La variazione di energia del camion è ΔE = ΔE_c + ΔE_p = ½mv₂² – ½mv₁² + mgh – mg·0 = –160 kJ + 24 kJ = –136 kJ. In altri termini, l'energia cinetica del camion è diminuita molto di più di quanto sia aumentata quella potenziale. L'operazione sarebbe possibile anche in folle, e con un considerevole attrito, e del motore non c'è alcun bisogno.
Il risultato riportato da Luca, 1,8·10⁵ J, sarebbe corretto se la velocità fosse passata da 15 m/s a 25 m/s, e non viceversa.

Michela è curiosa:

Un proiettile, lanciato da una certa altezza h con velocità v₀ diretta orizzontalmente, raggiunge il suolo dopo un tempo t. Se la sua velocità iniziale, sempre diretta orizzontalmente, diventa 2v₀ e l'altezza resta inalterata, dopo quanto tempo il proiettile raggiunge il suolo?

Ecco la mia risposta:

Raggiunge il suolo sempre dopo un tempo t. Infatti, se la componente della velocità perpendicolare al suolo resta zero, il moto verticale resta invariato, e coincidente con quello di un proiettile lasciato semplicemente cadere. La sola cosa che cambia è la gittata, cioè la distanza percorsa, relativamente al suolo, prima di cadere.

(A rigore, poiché la Terra è tonda, se la gittata aumentasse molto, ci vorrebbe un po' più di tempo per arrivare al suolo. Ma il nostro proiettile viene lanciato, mica messo in orbita!)

Loris propone un esercizio:

Un treno si muove tra due stazioni distanti 1500 m, percorrendo la prima metà del tragitto di moto uniformemente accelerato con accelerazione a positiva, e la seconda parte di moto uniformemente accelerato con accelerazione –a negativa. Nota la velocità massima, pari a 13,88 m/s, calcolare l'accelerazione e il tempo totale di percorrenza.

Ecco la mia risposta:

Il primo tratto è caratterizzato da una distanza percorsa Δs = 750 m, da una velocità iniziale v₀ = 0 e da una velocità finale v_f = 13,88 m/s.
In un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla si ha Δs = ½at² e a = Δv/t = v_f/t. Ricavando a dalla seconda relazione e sostituendo nella prima si ottiene Δs = ½(v_f/t)t² = ½v_f·t e quindi t = 2Δs/v_f = 108 s. Il tempo totale di percorrenza è quindi 216 s, mentre l'accelerazione è a = v_f/t = 0,064 m/s².

Gioia ha un problema:

Anna e Lucia abitano a 15 km di distanza e si vogliono incontrare. Anna parte alle 16:18 con velocità v_A = 20 km/h. Lucia parte da casa alle 16:24 con velocità v_L = 25 km/h. A che ora si incontrano e in quale posizione?

Ecco la mia risposta:

Per cominciare, introduciamo delle unità di misura più comode nel contesto della cinematica. Convertiamo le velocità in m/s usando il fattore di conversione 1 km/h = (1/3,6) m/s, ottenendo:
     v_A = 20/3,6 = 5,6 m/s
     v_L = 25/3,6 = 6,9 m/s.
Se scegliamo la casa di Lucia come posizione di riferimento, e orientiamo l'asse del sistema di riferimento da Lucia a Anna, allora alle 16:18 la posizione di Anna è a 15000 m dalla posizione di riferimento. È comodo scegliere come istante iniziale le 16:24, quando Lucia parte con s_L0 = 0 m e v_L = 9 m/s. Poiché sono passati 6 min = 360 s da quando Anna è partita, Anna si è avvicinata a Lucia di v_A·Δt = 2000 m, per cui la posizione iniziale di Anna è s_A0 = 13000 m; la sua velocità è v_A = –5,6 m/s (negativa, perché orientata in verso opposto a quello da Lucia ad Anna, scelto come positivo).

A questo punto possiamo scrivere l'equazione s = s₀ + v·t del moto di ciascuna ragazza:
     A) s = 13000 m – (5,6 m/s)·t
     L) s = 0 m + (6,9 m/s)·t.
L'istante in cui si incontrano è quello in cui le due posizioni assumono lo stesso valore, quindi:
     (6,9 m/s)·t = 13000 m – (5,6 m/s)·t
da cui
     (12,5 m/s)·t = 13000 m
e quindi
     t = (13000 m) / (12,5 m/s) = 1040 s = 17 min e 20 s.
Questo è l'istante in cui le due ragazze si incontrano. Sostituendo questo valore al posto di t nell'equazione del moto di Anna o di Lucia, otteniamo la posizione in cui si incontrano, s = 7176 m dalla posizione di riferimento (cioè dalla casa di Lucia).

Roberto propone un esercizio:

Un blocco di volume V = 0,0312 m³ e massa m = 25 kg è immerso in un liquido di densità d = 1,3·10³ kg/m³. Calcolare l'accelerazione del blocco, rispetto a un asse orientato verso l'alto.

Ecco la mia risposta:

Rispetto a un asse orientato verso l'alto, il blocco è sottoposto alla forza peso P = mg = –245 N (negativa perché con verso negativo) e alla spinta di Archimede, pari al peso di una quantità di fluido di volume uguale al blocco, A = V·d·g = 397 N.
La forza totale è F = A + P = 397 N – 245 N = 152 N, mentre l'accelerazione è a = F/m = 6,08 m/s².

Carla è confusa:

I cavi di alluminio di una linea elettrica aerea ad alta tensione lunga 25,47 km sono agganciati ai tralicci a una temperatura media di +12,5 °C. La loro temperatura può raggiungere i 55,0 °C. Qual è la lunghezza massima dei cavi?

Ecco la mia risposta:

Immagino che per «lunghezza massima» l'estensore del problema intenda la lunghezza alla quale si dilatano i cavi quando la loro temperatura passa, dal valore iniziale T₁ = 12,5 °C, al valore finale T₂ = 55,0 °C. Si tratta in altri termini di un esercizio sulla legge della dilatazione termica lineare:
     l(T) = l(0 °C)·(1 + λT)
dove l(T) è la lunghezza del cavo alla temperatura T e λ è il coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale in questione, in questo caso l'alluminio, per il quale λ = 23,1·10^–6 °C^–1.

Applicando una prima volta la legge con T = 12,5 °C e l(T) = 25,47·10³ km, si ottiene la lunghezza dei cavi a 0 °C, l(0 °C) = 25,46 km. Applicando una seconda volta la stessa legge, questa volta con T = 55,0 °C e l(0 °C) pari al valore appena trovato, si determina l(55,0 °C) = 25,49 km.

Marianna propone un esercizio:

Alla temperatura di 273 K e alla pressione di 1,013·10⁵ Pa, la densità dell'azoto è 1,25 kg/m³. Determina la sua densità alla temperatura di 57,0 °C e alla pressione di 1,40·10⁵ Pa.

Ecco la mia risposta:

L'equazione di stato dei gas perfetti pV = nRT collega la pressione p, il volume V, la temperatura assoluta T (in kelvin) e la quantità di sostanza n (in moli) di un gas. La densità del gas, definita come d = m/V, è direttamente proporzionale al rapporto n/V, perché la massa del gas è uguale al prodotto della quantità di sostanza per la massa molare M (in kg/mol), m = M·n. Inoltre in un sistema chiuso (come il gas contenuto nel suo contenitore) n resta costante; in tal caso, quindi, la densità varia in maniera inversamente proporzionale al volume V.

Scrivendo l'equazione di stato come pV/T = nR si ottiene un'espressione che rimane costante in un sistema chiuso. In altri termini, possiamo scrivere:
     p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
dove con gli indici 1 e 2 abbiamo indicato le grandezze relative ai due stati in questione. Sostituendo:
     (1,013·10⁵ Pa)·V₁/(273 K) = (1,40·10⁵ Pa)·V₂/(330 K)
da cui:
     V₂/V₁ = [(1,013·10⁵ Pa)/(1,40·10⁵ Pa)] · [(330 K)/(273 K)] = 0,875.
Questo risultato indica che il volume finale è 0,875 volte quello iniziale. Per la proporzionalità inversa evidenziata in precedenza, la densità finale è uguale a quella iniziale divisa per 0,875: d₂ = 1,43 kg/m³.

Sergio ha un problema:

Un treno ad alta velocità, di massa 220 tonnellate, percorre una linea ferroviaria in salita con un angolo α di 5° rispetto all'orizzontale. La forza di attrito esercitata dall'aria sul treno in corsa dipende dalla velocità ed è data dall'espressione F = kv⁴, con k = 9·10^–4 kg·s²/m³. Trascurando le altre forme di attrito, quale potenza deve erogare il motore affinché il treno proceda alla velocità costante di 290 km/h = 80,6 m/s?

Ecco la mia risposta:

La potenza dissipata da una forza F su di un corpo che si muove con velocità v si può scrivere come:
     P = W / Δt = F·Δs / Δt = F·v
Perciò la potenza dissipata dalla forza di attrito in questo caso è uguale a:
     P_attr = F·v = kv⁴·v = (9·10^–4 kg·s²/m³)·(80,6 m/s)⁴·(80,6 m/s) = 3,05 MW.

Il motore deve erogare, oltre a una potenza uguale a quella dissipata dalla forza di attrito, anche una potenza pari alla velocità con cui il treno acquista energia potenziale gravitazionale. Dato che la velocità del treno ha una componente verticale v_y = v·sinα = 7,02 m/s, l'altezza del treno cresce di una quantità h = 7,02 m ad ogni secondo e la sua energia potenziale cresce di una quantità U = mgh = 15,1 MJ. La potenza necessaria a fornire ad ogni secondo questa energia è appunto P_grav 15,1 MW.

La potenza totale necessaria è quindi P_motore = 18,2 MW.

Sara propone un esercizio:

Un'auto sale una collina alla velocità costante di 40 km/h e ridiscende la stessa strada a 60km/h. Calcolate le velocità medie complessive(scalare e vettoriale) per andata e ritorno.

Ecco la mia risposta:

L'intervallo di tempo impiegato a percorrere la strada di lunghezza s a velocità v è t = s/v. Il tempo impiagato in salita è allora t₁ = s/v₁ mentre quello impiegato in discesa è t₂ = s/v₂. La velocità scalare media sul percorso di andata e ritorno, di lunghezza 2s, è allora pari a v_m = 2s/(t₁ + t₂) = 2s/(s/v₁ + s/v₂) = 2/(1/v₁ + 1/v₂) = 48 km/h.

La velocità media vettoriale è data invece dal vettore spostamento complessivo, diviso per l'intervallo di tempo di andata e ritorno. Ma il vettore spostamento complessivo è il vettore nullo, perché l'auto torna al punto di partenza. Quindi la velocità vettoriale media è uguale a zero.

Samuele è in difficoltà:

In una stazione ferroviaria un operaio di 70 kg salta da un carrello di servizio di massa 500 kg in moto alla velocità costante di 2 m/s (rispetto alla stazione ) e si ferma a terra. Rispetto alla stazione la velocità orizzontale dell'operaio al momento del salto è uguale a 0. Calcola la variazione di velocità del carrello.

Ecco la mia risposta:

Prima del salto dell'operaio il sistema operaio + carrello ha, rispetto alla stazione, una quantità di moto pari a (570 kg)·(2 m/s) = 1140 km·m/s. Rispetto al sistema stesso, la quantità di moto è zero.  Il valore deve mantenersi costante in entrambi i sistemi di riferimento, perché il sistema è isolato. Dopo il salto la quantità di moto totale è data dalla quantità di moto dell'operaio più la nuova quantità di moto del carrello.

Se l'operaio al momento del salto ha una velocità pari a 0 rispetto alla stazione, allora ha una velocità –2 m/s rispetto al carrello. La quantità di moto dell'operaio nel riferimento operaio + carrello è perciò –140 kg·m/s e il carrello deve acquistare una quantità di moto uguale e opposta, se la quantità di moto totale in questo riferimento deve restare nulla. Si ottiene perciò che il carrello deve acquistare una velocità (140 kg·m/s)/(500 kg) = 0,280 m/s. Questa è la variazione di velocità del carrello.

Nel sistema di riferimento della stazione, l'operaio che salta ha quantità di moto nulla, ma la massa del sistema in moto varia. Perché la quantità di moto resti costante anche in questo riferimento, il carrello deve passare a una velocità (1140 kg·m/s)/(500 kg) = 2,280 m/s. Come si vede, la variazione di velocità del carrello è anche qui 0,280 m/s.

Ferdinando propone un problema:

Un tubo di diametro interno 2,5 cm porta l'acqua, proveniente dal livello stradale, in un abitazione alla pressione di 1,9 bar. Se si apre un rubinetto di diametro 1,3 cm al primo piano, posto a 3,5 m dal piano stradale , l'acqua impiega 28s per riempire una caraffa da 1 L.
Calcola la velocità dell'acqua durante il riempimento della caraffa sia nel rubinetto che nel tubo al livello stradale.
Calcola la pressione dell'acqua al primo piano.

Ecco la mia risposta:

La portata q, costante in tutto il tubo, si ottiene dividendo il volume di 1 L per l'intervallo di tempo di 28 s: q = 36·10^–6 m³/s.
Dalla relazione q = v·S fra portata, velocità v e sezione S del tubo si ricavano le velocità iniziale e finale, v₁ = q/S₁ = 0,073 m/s e v₂ = 0,27 m/s.

Dall'equazione di Bernoulli:
     p₁ + dgh₁ + ½dv₁² = p₂ + dgh₂ + ½dv₂²
si ricava:
     p₂ = p₁ + dg(h₁ – h₂) + ½d(v₁² – v₂²) = 1,56·10⁵ Pa.

Giorgio è in difficoltà:

Una coppia di forze ognuna di valore 50,0 N è applicata agli estremi di un'asta lunga 80,0 cm vincolata nel centro. Sapendo che le forze sono inclinate di 60° rispetto all'asta e hanno verso opposto, calcola il valore del momento della coppia di forze e il verso di rotazione dell'asta.

Ecco la mia risposta:

La situazione descritta corrisponde a quella raffigurata nel disegno.

Possiamo calcolare il momento della coppia o con l'espressione particolare del momento di una coppia:
     M_coppia = F·b·sin(α)
dove il braccio b, definito come la distanza fra i punti di applicazione delle due forze, corrisponde alla lunghezza dell'asta, oppure sommando i momenti (uguali) delle due forze rispetto al centro di rotazione O, ciascuno pari a:
     M_forza = F·r·sin(α).
In entrambi i casi il risultato è pari a 35 N·m.

Guardando il disegno, il vettore momento risulta diretto verso chi osserva. Il verso di rotazione nello stesso piano è antiorario.

Alessandra propone un esercizio:

Dati i vettori A = 3i + j – k, B = –i + 2j – 5k e C = 2j – 3k, calcolare il prodotto scalare C · (A + B) e il prodotto vettoriale C × (A – B).

Ecco la mia risposta:

La somma e la differenza di vettori è data dalla somma o dalla differenza delle componenti di uguale direzione, perciò:
     A + B = 2i + 3 j – 6k
e
     A – B = 4i – j + 4k.

Il prodotto scalare è dato dalla somma dei prodotti delle componenti di uguale direzione, quindi:
     C · (A + B) = 2·0 + 3·2 + (–6)·(–3) = 24.

Il prodotto vettore è dato dal determinante avente come prima riga i vettori unitari e come seconda e terza riga le componenti dei due vettori. Con un'immagine tratta da Wikipedia:

da cui:
     C × (A – B) = –2·(4i – 4k) – 3·(–i – 4j) = –5i + 12j + 8k.

Alessandra propone un altro esercizio:

La lama di una sega circolare che ruota alla velocità angolare di 3600 giri/min viene frenata finché non si arresta in 6 s. Qual è la sua accelerazione angolare e quanti giri compie?

Ecco la mia risposta:

La velocità angolare iniziale della sega è ω₀ = 3600 giri/min = 3600·2π rad/60 s = 120 π rad/s = 377 rad/s. Dato che dopo 6 s la sega è ferma, la variazione di velocità angolare è Δω = –377 rad/s e l'accelerazione angolare è α = Δω/Δt = –63 rad/s².

L'angolo descritto nell'intervallo Δt in un moto circolare uniformemente accelerato è Δφ = ω₀·Δt – ½α·Δt² = 1,13·10³ rad. Un angolo giro vale 2π, quindi i giri eseguiti sono N = Δφ/2π = 180 giri.

Samuele chiede un aiuto:

Un auto di massa m = 765 kg che viaggia verso est con v₁ = 40 km/h viene urtata da un’altra auto che proviene da sud-ovest con v₂. Le due auto restano agganciate slittando in una direzione di 18° a Nord – Est. Se m₂ = 1471,5 kg che velocità aveva la seconda macchina? Qual è la velocità comune delle 2 auto dopo l’urto?

Ecco la mia risposta:

Cercherò di fornire a Samuele qualche suggerimento per impostare il problema, a partire dal disegno qui a fianco, con il quale spero di avere interpretato correttamente i dati forniti.

Le componenti delle due quantità di moto prima dell'urto sono:
     m₁v_1x = (765 km/h)·(40 km/h)
     m₁v_1y = 0
     m₂v_2x = (1471,5 kg)·v₂·0,707
     m₂v_2y = (1471,5 kg)·v₂·0,707
perciò le componenti della quantità di moto totale (che si conserva) sono:
     p_x = (765 km/h)·(40 km/h) + (1471,5 kg)·v₂·0,707
     p_y = (1471,5 kg)·v₂·0,707.

Il rapporto p_y/p_x deve risultare uguale alla tangente di 18°, quindi:
     p_y = p_x·0,325.
Sostituendo in questa relazione le espressioni delle componenti della quantità di moto si ottiene un'equazione in v₂, che dovrebbe permettere di risolvere il problema.

Marianna è preoccupata:

Si prevede che nei prossimi anni la temperatura media dei primi 1000 m di profondità degli oceani, che ricoprono il 70% della superficie terrestre, aumenti di 1 °C. Il coefficiente di dilatazione dell'acqua nell'intervallo tra 10 e 30 °C vale 2,10·10^–6 °C^–1. Stima di quanto si innalzerebbe il livello delle acque a causa di questo fenomeno.

Ecco la mia risposta:

Trattiamo lo strato d'acqua considerato come uno strato di liquido spesso 1000 m e di area di base pari al 70% della superficie terrestre. Possiamo ignorare il fatto che la superficie inferiore dello strato è un po' minore della superficie superiore (dato che lo strato è avvolto intorno al geoide terrestre) perché 1 km è uno spessore piccolo rispetto al raggio terrestre, che vale R = 6371 km.

L'area della superficie terrestre vale 4πR² = 5,1·10¹⁴ m² e il volume dello strato d'acqua vale V = 0,70·4πR²·h = 3,6·10¹⁷ m³. La variazione di volume dovuta alla variazione di temperatura è ΔV = α·V·ΔT = 2,10·10^–6 °C^–1·3,6·10¹⁷ m³·1 °C = 7,5·10¹¹ m³. Lo spessore di un volume simile, distribuito sulla superficie degli oceani, è Δh = ΔV / 4πR² = 1,5 mm.

Naturalmente questa è una stima grossolana e va intesa al più come ordine di grandezza del fenomeno. Ricordiamo anche che l'innalzamento del livello degli oceani in presenza di un riscaldamento della Terra sarebbe molto maggiore di quanto previsto in base alla sola dilatazione termica, perché sarebbe dovuto soprattutto allo scioglimento dei ghiacci polari.