Questo è un esercizio sulla dilatazione volumica:
Un cubo di ferro (lamda = 12×10^(-6) 1/°C), di volume V0 alla temperatura di 0 °C, viene posto in un ambiente alla temperatura T. Sapendo che il volume del cubo diventa 1,002 volte V0, calcolare la temperatura dell’ambiente.
Ecco la mia risposta:
La legge della dilatazione lineare dei solidi mostra che se un solido di lunghezza \(l_0\) a \(T_0=\mathrm{0\,°C}\) viene portato a una temperatura \(T\), la sua lunghezza assume il valore \(l=l_0\cdot(1+\lambda T)\).
Se la variazione di temperatura avviene in un cubo, ognuno degli spigoli subisce questa variazione di lunghezza e il volume diventa \(V=\left[l_0\cdot(1+\lambda T)\right]^3\). Applicando lo sviluppo del cubo di un binomio si ottiene \[V=l_0^3\cdot\left(1+3\lambda T + 3\lambda^2 T^2 + \lambda^3 T^3\right)=V_0\cdot\left(1+3\lambda T + 3\lambda^2 T^2 + \lambda^3 T^3\right).\]Dato che \(\lambda\) è in generale molto piccolo rispetto all’unità, si possono trascurare i termini in \(\lambda^2\) o \(\lambda^3\) e si ottiene \(V=V_0\cdot(1+3\lambda T)\).
Nel caso in questione, \(1+3\lambda T=1,002\) quindi \(\displaystyle T = \frac{1,002-1}{3\lambda}=\mathrm{55,6\,°C}\).