Samuele è nei guai:
Un’asticella di massa 300 g e lunga 80 cm è libera di muoversi senza attriti in un piano verticale attorno all’asse di rotazione passante per O, uno dei suoi due estremi che funge da punto fisso. Che velocità è necessario imprimere all’altro estremo A affinché l’asticella riesca a toccare la parete di fronte posta a distanza 40 cm?
Ecco la mia risposta:
L’esercizio è tutt’altro che facile, e mi chiedo quanto tempo richieda darne una discussione adeguata in una classe quarta di un Liceo Scientifico. Vediamo.
Il momento d’inerzia di un’asta di massa \(m\) e lunga \(l\) vincolata in un estremo (come immagino che Samuele sappia calcolare, altrimenti non so da dove dovrebbe partire) è \(\displaystyle I=\frac{ml^2}{3}\).
Quando l’estremità opposta viene colpita imprimendole una velocità \(v\) e quindi una velocità angolare istantanea \(\displaystyle\omega=\frac{v}{l}\), le viene comunicata un’energia cinetica di rotazione \(\displaystyle K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{6}mv^2\).
L’inclinazione dell’asta fino a toccare la parete è descritta dall’angolo \(\displaystyle\alpha=\arccos\left(\frac{d}{l}\right)=60°\) ovvero dall’angolo \(\beta=30°\).
Il segmento \(\displaystyle a=\frac{l}{2}\cos\beta=\frac{\sqrt 3}{4}l\) permette di calcolare di quanto si alza il centro di massa C dell’asta, \(\displaystyle h=\frac{l}{2}-a=\frac{2-\sqrt 3}{4}l\).
L’innalzamento comporta un aumento di energia potenziale pari a \(\displaystyle U=mgh=mg\frac{2-\sqrt 3}{4}l\).
L’asta arriva appena a toccare la parete se l’energia cinetica iniziale risulta uguale all’energia potenziale finale, quindi se \(\displaystyle \frac{1}{6}mv^2=mg\frac{2-\sqrt 3}{4}l\).
Da questa equazione si può ricavare \(v\).