Questo è un quesito sull’energia elettrostatica:
Tra le due armature di un condensatore piano a facce parallele di area A = 1 cm^2 poste a una distanza d = 0,15 mm è inserito un cristallo dielettrico con εr = 300. Il condensatore è mantenuto a un potenziale costante di 200 V. Determina il lavoro necessario per estrarre il cristallo, supposto che il generatore venga e non venga precedentemente scollegato.
Ecco la mia risposta:
L’energia elettrostatica immagazzinata in un condensatore di capacità \(C\), sottoposto a una differenza di potenziale \(\Delta V\), in modo che sulle sue armature sia presente una carica rispettivamente pari a \(\pm Q=\pm C\cdot\Delta V\), è pari a \(\displaystyle E=\frac{1}{2}C\Delta V^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\).
La capacità di un condensatore a facce piane parallele di area \(A\), poste a una distanza \(d\), fra le quali sia presente un dielettrico di permittività \(\epsilon=\epsilon_r\cdot\epsilon_0\), è data dall’espressione \(\displaystyle C=\frac{\epsilon\,A}{d}\). Estrarre il cristallo fa passare la permittività dal valore iniziale \(\epsilon_1=300\,\epsilon_0\) al valore finale \(\epsilon_2=\epsilon_0\).
Come varia l’energia?
Se il generatore rimane collegato, a restare costante è la differenza di potenziale \(\Delta V\), quindi conviene usare la prima espressione dell’energia, che passa da \(\displaystyle E_1=\frac{1}{2}\frac{300\,\epsilon_0\,A}{d}\Delta V^2\) a \(\displaystyle E_2=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0\,A}{d}\Delta V^2\), diminuendo quindi di 300 volte. La differenza fra valore finale e valore iniziale dell’energia dà il lavoro necessario.
Se il generatore viene scollegato, a restare costante è la carica \(Q\), quindi conviene usare la seconda espressione dell’energia, che passa da \(\displaystyle E_1=\frac{1}{2}\frac{d}{300\,\epsilon_0\,A}Q^2\) a \(\displaystyle E_3=\frac{1}{2}\frac{d}{\epsilon_0\,A}Q^2\), aumentando questa volta sempre di 300 volte. La differenza fra valore finale e valore iniziale dell’energia dà anche in questo caso il lavoro necessario.