Questo esercizio contiene una difficoltà importante:
Un solido cilindrico la cui lunghezza è pari a dieci volte il raggio sviluppa una certa potenza raggiante. Esso viene diviso in altri cilindri più piccoli della stessa lunghezza e della stessa temperatura del cilindro originario. La potenza totale emessa risulta doppia di quella iniziale. Quanti sono i cilindri piccoli?
Ecco la mia risposta:
Appena ho letto l’esercizio, ho pensato che il numero dei cilindri piccoli doveva essere quattro. Per giustificare la mia intuizione potrei procedere così. La potenza raggiante è proporzionale alla superficie, mentre la superficie è proporzionale al quadrato delle dimensioni lineari. Dividendo il cilindro in \(N\) cilindri più piccoli di uguale altezza \(h\), l’area di base \(\displaystyle\pi\,r^2\) risulta divisa per \(N\) e il raggio di base (una dimensione lineare) risulta diviso per \(\sqrt{N}\). Allo stesso tempo, però, l’area laterale \(2\pi\,r\cdot h\) aumenta di un fattore \(\sqrt{N}\), perché se il raggio diminuisce di un fattore \(\sqrt{N}\), il numero di cilindri aumenta di un fattore \(N\). Se voglio che la potenza aumenti di un fattore \(2=\sqrt{4}\), devo dividere il cilindro in 4 cilindri più piccoli.
Questo è il modo in cui un fisico, abituato a ragionare in termini di fattori di scala e proporzioni e a approssimare rapidamente trascurando le correzioni poco rilevanti, risolverebbe questo esercizio. Resta da vedere quanto uno studente di liceo sia in grado di fare lo stesso.
Uno studente liceale potrebbe cadere nella difficoltà seguente. La potenza raggiante è direttamente proporzionale alla superficie totale del cilindro. Calcoliamo questa superficie come somma delle aree di base e dell’area laterale, \(2\cdot\pi\,r^2+2\pi\,r\cdot h=2\cdot\pi\,r^2+2\pi\,r\cdot10\,r=22\pi\,r^2\).
Dividendo il cilindro in \(N\) parti, il raggio risulta diviso per \(\sqrt{N}\). L’area totale delle \(2N\) basi resta invariata, mentre l’area laterale totale diventa \(\displaystyle N\cdot2\pi\frac{r}{\sqrt{N}}\cdot10r\). La somma \(\displaystyle2\pi\,r^2\left(1+10\sqrt{N}\right)\) dell’area totale di base e dell’area totale laterale deve essere il doppio dell’area del cilindro di partenza.
Otteniamo l’equazione \(\displaystyle2\pi\,r^2\left(1+10\sqrt{N}\right)=44\pi\,r^2\) da cui ricaviamo \(\displaystyle\sqrt{N}=\frac{21}{10}\). E ora? Dobbiamo concludere che la risposta sia \(\displaystyle N=\frac{441}{100}\)? Come mai il ragionamento intuitivo del fisico portava a un \(N=4\), evidentemente corrispondente alla soluzione richiesta, che era un numero intero?
Il punto è che il ragionamento intuitivo ignorava le aree di base. Questo, perché \(h\) è molto maggiore di \(r\). La soluzione ottenuta all’inizio è approssimata. Ma nel testo nulla fa pensare che si richieda una soluzione approssimata. Un fisico bene addestrato non ci pensa due volte. Ma non so quanto uno studente liceale possa avere già sviluppato un’intuizione così sicura.