Questo è un esercizio sul moto uniformemente accelerato:
Un treno regionale che viaggia a 83 km/h, a seguito dell’attivazione del freno di emergenza, si arresta in 300 m. Sapendo che la massa complessiva è 120 tonnellate, calcola l’accelerazione durante la frenata e il tempo necessario per arrestarsi. Disegna il grafico v-t della frenata verificando che l’area al di sotto del grafico corrisponde lo spazio di arresto. Calcola inoltre quale sarebbe lo spazio di arresto se la stessa forza fosse applicata a un automobile di 1100 kg avente la stessa velocità iniziale del treno.
Ecco la mia risposta:
Il treno è soggetto a un’accelerazione negativa. È ragionevole supporre che l’accelerazione non sia costante, perché a mano a mano che la velocità del treno si riduce a zero anche l’accelerazione deve annullarsi. In prima approssimazione, però, possiamo provare a risolvere il problema servendoci del modello più semplice di moto accelerato, il moto uniformemente accelerato.
Sotto questa ipotesi, la distanza percorsa in un intervallo di tempo \(t\) da un punto materiale che si muove con velocità iniziale \(v_0\) e accelerazione costante \(a\), è data dall’espressione \(\displaystyle \Delta s=v_0 t + \frac{1}{2}a t^2\). Ricavando \(a\) si ottiene:\[\displaystyle a=\frac{\Delta s-v_0 t}{\frac{1}{2} t^2}=\mathrm{2\frac{300\,m-23\frac{m}{s}t}{t^2}}.\] D’altra parte, l’accelerazione si può ricavare anche dividendo la variazione di velocità per l’intervallo di tempo:\[\displaystyle a=\frac{v_f-v_0}{t}=\mathrm{\frac{0-23\frac{m}{s}}{t}}.\]Uguagliando le due espressioni otteniamo un’equazione in \(t\):\[\displaystyle \mathrm{2\frac{300\,m-23\frac{m}{s}t}{t^2}=\frac{0-23\frac{m}{s}}{t}}\]da cui:\[\displaystyle \mathrm{600\,m-46\frac{m}{s}t=-23\frac{m}{s}t}\]e infine \(\displaystyle t=\mathrm{\frac{600\,m}{23\frac{m}{s}}=26\,s}\).
Inserendo questo risultato in una delle equazioni precedenti si ottiene \(\displaystyle a=\mathrm{-0,88\frac{m}{s^2}}\). Faccio notare di passaggio che il dato sulla massa del treno non è stato necessario finora. Lo diventa se si chiede l’effetto della stessa forza applicata a un punto materiale di massa differente. Se la forza è la stessa, l’accelerazione risulta inversamente proporzionale alla massa, per cui l’accelerazione dell’automobile risulta \(\displaystyle a’=\frac{m}{m’}a=\mathrm{-97\frac{m}{s^2}}\). (Difficilmente l’automobilista potrebbe sopravvivere a un’accelerazione così grande!)
Dalle espressioni già discusse ricaviamo il nuovo tempo di frenata, \(t’=\mathrm{0,24\,s}\) e il nuovo spazio di arresto, \(\Delta s’=\mathrm{2,7\,m}\).
Il diagramma \(v-t\) è rappresentato qui a fianco, e corrisponde a un triangolo di altezza \(v_0\) e base \(t\). L’area all’interno del triangolo si può calcolare con i dati in nostro possesso e risulta:\[\displaystyle A=\frac{1}{2}v_0 t^2=\mathrm{300\,m}\]cioè uguale alla distanza percorsa.